专题02 向量基本定理与坐标运算（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题2 向量基本定理与坐标运算 （一）平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. (1)加法、减法：若，则； (2)向量的数乘：若，则． (3)设，则，. （三）向量数量积的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 2. 设a＝(x，y)，则|a|＝；设，则，. 3.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 4．平面向量的夹角 （四）向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b． 【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 (1)当b≠0时，a＝λb．它体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0．有助于解决向量共线问题，其优点在于不需要引入参数“λ”，减少了未知数的个数，从而使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝．即两向量的相应坐标成比例，更易形象记忆. （五）平面几何中的向量方法 1.证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． 2.证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　． 3证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)． 4.求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． 5.向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． （六）物理中的向量方法 1.力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． 2.速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度． 题型一 平面向量基本定理及其应用 【典例1】（2021春·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A．-3 B． C． D． 【典例2】（2023秋·辽宁营口·高一校联考期末）在中，，，若（，均大于0），则的值为______. 【规律方法】 1.平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 2.在应用平面向量基本定理时，要注意基向量不共线这个条件．若已知条件a＝λ1e1＋λ2e2没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑． 题型二 向量的坐标运算 【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知向量，，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______. 【规律方法】 1.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标． 2.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三 向量共线的坐标表示及应用 【典例5】（2023·高一课时练习）已知，，则与同向的单位向量的坐标为________． 【典例6】（2022秋·江苏盐城·高一滨海县五汛中学校考阶段练习）已知，. (1)当为何值时，与共线； (2)若，且三点共线，求的值. 【规律方法】 1.主要命题角度：（1）利用向量共线求向量或点的坐标；（2）三点共线问题；（3）利用向量共线求参数. 2.常见解题策略： (1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则的充要条件是”解题比较方便． 题型四 数量积的坐标运算 【典例7】（2023·高一课时