9.2.3　向量的数量积（1）（配套教学设计）-苏教版高一数学必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风凰数字教参·高中数学配套教学软件·必修第二册教学设计 9.2.3向量的数量积（1) 江苏省姜堰第二中学丁连根 教学目标： 1.理解向量数量积的含义及其物理意义，理解投影向量的概念，了解数量积 的几何意义，掌握向量数量积的性质： 2.通过知识发生，发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思 想 3.通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流 的学习品质. 教学重点： 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义，投影向量的概念， 教学难点： 向量数量积的含义、数量积的性质. 教学过程： 一、问题情境 问题1：回忆向量夹角的定义 已知两个向量a和i,作OA=a,OB=i,则∠A0B=0(0°≤0≤180°)叫 做向量a与b的夹角. 当0=0°时，a与b同向： 当0=180°时，a与b反向： 当0=90°时，a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作a1b. 风凰数字教参·高中数学配套教学软件·必修第二册教学设计 问题2：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？ 二、学生活动 问题3：物理学中，物体所做的功的计算方法： W=F‖S1cos0(其中0是F与S的夹角) 三、建构数学 问题4：求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1.向量数量积的定义： 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量|albl.cos0叫做a与b的 数量积，记作ab,即a·b=al.bl.cos0. 说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一 个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由c0s 的符号所决定；实数与向量的积是一个向量： ②两个向量的数量积称为内积，写成a·b;今后要学到两个向量的外积a×b, 而α·b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不 是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替： ③零向量与任一向量的数量积是0： ④在实数中，若a≠0，且a·b=0,则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且 a-b=0,不能推出b=0.因为其中cos0有可能为0： 2.向量数量积的性质： 设a、b都是非零向量，0是a与b的夹角，则 ①cos6=a.b :(a1|b|≠0) lallb ②当a与i同向时，a-ialb:当a与i反向时，ab=-a川b1: 特别地：aaa2或a=√a·a: ③1a-bsa‖bl: 风凰数字教参·高中数学配套教学软件·必修第二册教学设计 ④a⊥b-ab=0: 4.数量积的几何意义 (1)投影向量的概念： 如图，OA=a,过点B作BB垂直于直线OA,垂足为B,则OBb|cos0. 0 B B 上述由向量b得到向量OB的变换称为向量b向向量a投影，向量OB称为向 量b在向量a方向上的投影向量， 记向量a与向量b的夹角为0，由图可知： 当6为锐角时， 当0为钝角时， as=-0o丽日-o0月i 当0为直角时， 08=0=6lcos0 综上可知，对于向量a,b,向量b在向量a方向上的投影向量 cos a (2)提出问题：数量积的几何意义是什么？ 向量a,b的数量积为向量b在向量a方向上的投影向量与向量a的数量积. 四、数学运用 例题 例1判断正误，并简要说明理由， ①a·0=0 ②0·a=0: ______风照数字教参·高中数学配套教学软件·必修第二册教学设计 ③o-AB=BA； ④a·b=|a|b|； ⑤若a≠0，则对任一非零b，有a·b≠0； ⑥a·b=0，则a与b至少有一个为0； ⑦对任意向量a、b、c都有(a·b)·c=a·(bc)； ⑧a与b是两个单位向量，则a^2=b2 例2已知向量a与向量b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3，分别在下列条件 下求a-b，(1)θ=135日（2)a∥b；(3)a⊥b． 例3已知正ΔABC的边长为2，设BC=a，Ci=b，AB=e，求 ab+b-c+c·a． 解：如图，a与b、b与C、a与C夹角为120°，A\ ∴原式=a|-|b|·cos120'+|b||c|cos120+|a|1c|·cs120 =2×2×(-_5)×3=-6． 变式已知|a|=\sqrt{5}，|b=3，|c=2\sqrt{3}，且a+b+c=0，求a.b+bc+ca． 解：作AB=c，BC=a，∵a+b+c=o，∴ci=b， ∵a|-|b|k|e<a|+|b|且|cF=a|+|b， A^′_→B ∴Δ4BC中，C=90°，∴细mA=一，∴∠A=30，∠B=60， 所以，a·b+b·c+ca=3×2\sqrt{3}cos150+\sqrt{3}×2\sqrt{5}cos120^∘=-9-3=-12． 巩固练习 1.当a与b同向时，a-b=—，当a与反向时，a-b=—，特别地，a· a=_，|a|