7.1.2复数的几何意义（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

令学科网 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.1.2复数的几何意义 目录速览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：复数的坐标表示 必会题型二：在各象限内点对应复数的特征 必会题型三：复数的模 必会题型四：复数的几何意义综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 因为任何一个复数z=a十b都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一 确定一个有序实数对，所以复数z=a十bi与有序实数对(a,b)是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直 角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.如图， 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a十bi可用点Za,b)表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点 都表示纯虚数， 6 .--Z:a+bi a x 2.复数的几何意义 按照上述表示方法，每一个复数，有复平而内唯一的一个点和它对应：反过米，复平面内的每一个点， 有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系， 复数z=a十b一一对应复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 【名师点晴】(1)注意“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外。 (2)复平面内各象限内的点均表示虚数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (3)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi) 必会知识二复数集与复平面内的向量的一一对应关系 在复平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一 一对应的， 如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接0Z,显然向量O2由点Z唯一确定；反过来，点Z也 可以由向量0唯一确定，因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系（实数 0与零向量对应，即复数2=a十b1一一对应平面向量可之，这是复数的另一种几何意义. b Z:a+bi a ()这种对应关系架起了复数与几何之间的桥梁，使复数问愚可以用几何方法解决，而且几何问题也可 以用复数方法解决（数形结合法），增加了解决复数问题和几何问题的途径（如图） 复数z=a+bi(a,b∈R) 对应 ② 对应 点Z(a,b) 向量0之 (2)用点Z(a,b)表示复数称为复数的几何形式：用向量02表示复数称为复数的向量形式，其中0为坐 标原点。 (3)为了方便起见，我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Za,b)或说成向量O之，并且规定，相等 的向量表示同一个复数 必会知识三复数的模 如图向量可2的模叫作复数z=a+bi的模或绝对值，记作z域a+bl.即=a+bf=Va2+b2,其中 a,b∈R.如果b=0,那么z=a十bi是一个实数a,它的模就等于(a的绝对值). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 令学利网 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 y b Z:a+bi Q I)复数z=a+bi〔a,b∈R)的模z表示的是复平面内对应的点Z(a,b)到原点的距离，它是实数的绝 对值概念的扩充，因此有z>0,并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模。 (2)两个复数的差的模就是复平面内这两个复数所对应的两点间的距离，设复平面内任意两点A,B所对 应的复数分别为1，z2,则z1~z2=AB(复数的减法将在下节学习)，运用这个性质，可以通过数形结合 的方法解决有关问题 必会知识四共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫作共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a十bi,那么z=a-bi,一个复数 的共轭复数是唯一确定的 【名师点晴】()当复数为实数时，它的共无复数就是它本身：反之，若一个复数的共轭复数是它本身， 则它是一个实数.即z为实数台z=2 (2)当复数为纯虚数时，它的共轭复数就是它的相反数；反之，若一个非零复数的共轭复数是它的相反 数，则它是一个纯虚数.即z为纯虚数台z=-入或z+z=0),z≠0. (3)在复平面内，互为共轭复数的两个复数所对应的点关于实轴对称。 必会知识五复数的模的性质 设21,22是任意两个复数，则 2z=z2,引=(2≠0)（复数的乘、除法将在下节学习. =z"(nEN)