7.1.1数系的扩充和复数的概念（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

学科四 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.1.1数系的扩充和复数的概念 目录速览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：复数的基本概念 必会题型二：复数的相等 必会题型三：根据条件求参数 必会题型四：复数的概念综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一复数的引入 在实数范围内，方程x2+1=0无解.为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设 想引人一个新数1，使得x=i是方程x2+1=0的解，即使得2=-1·把新引进的数1添加到实数集中，得到 一个新数集.把实数b与1相乘，结果记作bi:把实数a与bi相加，结果记作a+bi.注意到所有实数以及1都 可以写成a+b〔a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 【名师点睛】(1)数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.数系的扩充遵循以下原则：(1)在原来数集 的基础上增加了新元素；(2)在新的数集里定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质（如运算律）仍适 用：（③）在新数集里，旧元素原有的运算关系仍能保特 22=-1中并没有规定i=±√1还是=√1或i=-√1.在今后的学习中，我们将知道y1=±i, 但不能说等于土y√1中的某一个值 (3)此处打扩充数集时，只提加法、乘法运算，不提减法、除法运算，并不是减法和除法不成立，而是为 了后面讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则作出规定，而减法、除法的做法与加法、乘法的逆运算 的做法相一致，应注意这一点。 必会知识二复数的概念、代数形式及分类 1.复数的概念 我们把形如a+b〔a,b∈R)的数叫作复数，其中1叫作虚数单位，全体复数所构成的集合 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让李司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 C={a+bila,b∈R叫作复数集.复数通常用字母z表示，即z=a+bia,b∈R).以后不作特殊说明时， 复数z=a十bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部. 对于复数a+ba,bER),当且仅当b=0时，它是实数：当且仅当a=b=0时，它是实数0；当 b≠0时，它叫作虚数；当a=0且b≠0时，它叫作纯虚数 对于复数z=a+ba,b∈R),既要把复数z看成一个整体，从整体的角度去认识它，又要从实部、虚 部的角度将其分解成两部分去认识它， 2.复数的分类 复数可以分为两大类一一实数和虚数， 复数的分类如下： 实数b=0), 复数2=a+ a,bER 虚数瓢b≠0)（当a=0时为纯虚数） 3.数集间的关系 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用下图表示，用集合间的关系表示各数集间的关 系为N车ZQRC. 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 【名师点睛】(1)一个复数若是虚数，则只需满足虚部b≠0即可：一个复数若是实数，则只需满足虚部 b=0即可：一个复数若是纯虚数，则既要满足虚部b≠0，又要满足实部a=0,两个条件缺一不可 (2)复数的代数形式z=a十bia,b∈R)中，虚部是b而不是bi,即实部和虚部都是实数. (3)实数集R和虚数集都是复数集C的真子集，RU{虚数}=C,R∩{虚数}= 必会知识三复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定：a+bi与 c+di相等当且仅当a=c且b=d,即它们的实部与虚部分别对应相等. 【名师点睛】(I)复数z=a+bi=0(a,b∈R)台a=b=0 (②)如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小，只能说相等或不相等。 (3)复数相等的充分必要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题的途径， 【拓展解惑】引入虚数单位1后，规定2=-1，但1与0的大小关系不能确定，理由如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 若i>0,则2i>1,两边同乘1，得22>2，即-2>-1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若1<0， 则由-2<-1，得-21>-i,所以-2i1<-ii,所以2<1，与实数系中数的大小规定相矛盾.故虚数不 能比较大小，只有相等与不相等之分，若两个复数用“>”或“<”连接，则这两个复数必为实数 必会知识四实系数一元二次方程与复系数一元二次方程 1,实系数一元二次方程在复数集C中解的情况： 设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a,b,cER,a≠0). )当A=b2.4aC>0时，原方程有两个不相等的实数根x12=名士 (2②)当A=b2.4ac=0时，原方程有两个相等的实数根x12=-号