平面向量 培优四部曲专题讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《平面向量培优四部曲》 目录 第1篇：向量基本定理、共线定理、爪字型图与等和线 2 定理一 平面向量基本定理 2 定理二 平面向量共线定理 2 定理三 等和线定理 3 典型例题 5 第2篇：向量必备解题结论串讲 14 1.极化恒等式 14 推论1 14 推论2：三角形中线长定理 15 2.对角线向量定理 16 推论1 16 推论2：空间余弦定理 16 3.矩形大法 17 推论1：平行四边形大法 17 典型例题 18 第3篇：奔驰定理与三角形四心（附共边定理） 26 一、奔驰定理 26 补充.共边定理（理解、运用奔驰定理的工具） 27 二、三角形四心及其向量表示 29 典型例题 33 第4篇：平面向量与斜坐标系 37 第1篇：向量基本定理、共线定理、爪字型图与等和线 定理一 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 一个平面向量a能用一组基底e1，e2表示，即a＝λ1e1＋λ2e2.则称它为向量的分解。当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。 定理二 平面向量共线定理 若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且满足，则A,B,C三点共线. 证明: ①由A,B,C三点共线. 由得：. 即，共线，故A,B,C三点共线. ②由A,B,C三点共线. 由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.故.令，则有. “爪”字型图: 在△ABC中，D是BC上的点，如果，则，其中，，知二可求一. 特别地，如果AD是BC边上的中线，则. 定理三 等和线定理 平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. ①当等和线恰为直线AB时，. ②当等和线在O点和直线AB之间时，. ③当直线AB在O点和等和线之间时，. ④当等和线过O点时，. ⑤若两等和线关于O点对称,则两定值()互为相反数. ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 对上述6条结论的理解（特别是对第⑥条的理解）： 如图， 设,由定理二 平面向量共线定理知， 设， 于是 由定理一 平面向量基本定理知 所以 强调一点：其中 通过以上过程，关于等和线的6条结论应该可以轻松理解啦. 等和线定理主要用于处理向量分解时的系数最值问题 典型例题 1.若D为所在平面的一点，，则（ ）. A. B. C. D. 解析：如图，由“爪”字型图得: ,移项化简得：，故选A. 2.已知点G是的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，求的值. 解析：因为点G是的重心，所以,又 因为三点共线，所以①，由平面向量基本定理知：② 于是：，代入①式得：，同时除以得 点评：通过对一个向量写两遍，借助平面向量基本定理和共线定理列等量关系，求解未知量，是处理此类问题的基本思路 3.如图所示,在平行四边形ABCD中，,,CE与BF相交于G点，记，，则_______ A．　　　B. C. D. 解析： （写两遍） 因为 , 又, 所以① 同理 ，又 ，， 所以② 结合平面向量基本定理，由①②两式可得： ，解得 所以. 点评：通过对一个向量写两遍，借助平面向量基本定理和共线定理列等量关系，求解未知量，是处理此类问题的基本思路 4.已知为的外心，若，则__________. 解法1：如图：在中，由余弦定理得： 于是外接圆半径： 又由 解得： ,所以 于是由等和线定理得 解法2：，得，解得， 故. 5.如图，在直角梯形中，，∥，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设（，），则取值范围是 . 解析：如图，设任意一点，过点作平行线，过作并延长垂线交于点，由,求得,易知，,所以 由等和线定理得：,于是当点运动至与点重合时，对应的取到最小值为，当点运动至图中点位置时，取到最大值即，对应的取到最大值，即 于是所求取值范围是. 6.如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是 ． 解析：如图，在OB上取一点D，使OB=3OD，设， 则有，过点作交于,由等和线定理得，易知当点C和点A重合时达最小值1，当点C和点B重合时达最大值3，故. 学以致用 1. 如图，在△ABC中，，点P是BC上的一点，若，则实数m的值为（ ） A．　B. C