5.3.1函数的单调性 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性 复习回顾 函数单调性的定义 一般地，设函数 f（x）的定义域为 D ，区间 I⊆D 特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 复习回顾 判断函数单调性的方法 1.定义法： 2.图像法： 3.性质法:增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减 新课引入 观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系. 新课引入 导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率 函数f(x)的单调性与导函数f '(x)的正负之间具有 如下的关系: (1) 在某个区间(a,b)上，如果f '(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增； (2) 在某个区间(a,b)上，如果f '(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减； 新课内容 例题讲解 例1利用导数判断下列函数的单调性 （1） （2） （3） 例题讲解 例题讲解 例题讲解 例题讲解 例题讲解 练习 练习 练习 练习 练习 练习 练习 探究 练习 练习 × × × √ 思考诊断 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)函数f(x)＝x2＋2x－3的导数f′(x)＝2x＋2是增函数，所以函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，＋∞)上是增函数．(　　) C 题型一　导数与函数图象的关系　　　　　　　　　　　　　　　 【典例1】　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的(　　) C (2)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的(　　) C (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax＋1－eq \f(a＋1,x)＝eq \f(ax2＋x－a＋1,x). ①当a＝0时，f′(x)＝eq \f(x－1,x)， 由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，f′(x)＝eq \f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋1,a)))x－1,x)，∵a>0，∴－eq \f(a＋1,a)<0. 由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0<x<1. ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． [巩固训练] 3．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1； [解]　(1)f′(x)＝6x2＋6x－36. 由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2； 由f′(x)<0解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2)． 题型二 利用导数求函数的单调区间 【典例2】　(1)求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间． (2)讨论函数f(x)＝eq \f(1,2)ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性． [解]　(1)f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－eq \f(2,x)＝eq \f(23x2－1,x)＝eq \f(2\r(3)x－1\r(3)x＋1,x)， 由x>0，解f′(x)>0，得x>eq \f(\r(3),3). 当x>0，解f′(x)<0，得0<x<eq \f(\r(3),3). ∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3))). [巩固训练] 5．若函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－16lnx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)，a＋\f(1,2)))上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\