2023年中考数学一轮复习19--圆相似三角函数综合

( 圆+相似+锐角三角函数 ) 【知识梳理】 知识点一：相似判定 1、有平行截线————用平行线的性质找等角 2、有一对等角——————找另一对等角或者该角的两边对应成比例 3、有两边对应成比例————找夹角相等或第三边对应成比例 4、直角三角形————找一对锐角相等或两条直角边对应成比例 5、等腰三角形————找顶角相等或者一对底角相等或者底和腰对应成比例 知识点二：圆幂定理 （1）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. （2）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 （4）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD 【典型例题】 考点一： 圆幂定理 【例1】（易）已知：AB是⊙O的直径，P是OA上一点，过点P作⊙O的非直径的弦CD． （1）若PA＝2，PB＝10，∠CPB＝30°，求CD长；（2）求证：PC•PD＝PA•PB； （3）设⊙O的直径为8，若PC、PD的长度是方程x2+mx+12＝0的两个解，求m的范围． 【总结】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 考点二： 圆内模型类相似问题 【例2】（中）如图，△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE，交BD于点F． （1）若∠CAD＝∠AED，求证：AC为⊙O的切线；（2）若DE2＝EF•EA，求证：AE平分∠BAD； （3）在（2）的条件下，若AD＝4，DF＝2，求⊙O的半径． 【总结】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，求出AB＝2BF是解题的关键． 【变式训练1】（易）（2022秋•相城区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB延长线于点F． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长； （3）求证：BC2＝4CE•AB． 【变式训练2】（中）（2022•大庆三模）如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，弦CD＝AC，E为CB延长线上一点，DE切⊙O于点D．（1）求证：CD平分∠ADE；（2）求证：DE2＝EB•CE； （3）若tan∠CAB＝，且AB＝5，求DE． 【变式训练3】（中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，AD平分∠CAB，点O在斜边AB上，以O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与OB交于点E，点F在⊙O上，且OF⊥AE于点O，连接DF交AB于点M，连接DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：BM2＝BE•BA；（3）若tan∠AED＝，⊙O的半径为5，求线段BM的长． 考点三： 圆内非模型类相似问题 【例3】（易）如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B．已知⊙O的半径为，BC＝3，那么sin∠A＝（　　） A． B． C． D． 【总结】本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键． 【变式训练1】（中）在△ACD中，CD＝1，AC＝3．以AD为直径作⊙O，点C恰在圆上，点B为射线CD上一点，连接BA交⊙O于点E，连接CE交AD于点G，过点A作AF∥CD交DE的延长线于点F． （1）若∠DAE＝30°，求DE的长；（2）求证：△AEC∽△FAD； （3）当△GEA∽△FAD时，求DF的长． 【变式训练2】（易）24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA； （3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长． 【变式训练3】（易）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB. (1)求证：AB是圆的切线； (2)若点E是BC上一点，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径． 考点四：探究类问题 【例4】（难）（2022秋•阜宁县期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角　　． 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD＝40°，则∠BCD＝　　°． 【问题创新】圆内接四边形的边会有特