第08讲 二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）

第08讲 二次函数（知识精讲+真题练+模拟练+自招练） 【考纲要求】 1．二次函数的概念常为中档题．主要考查点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等； 2．二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点； 3．抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现． 【知识导图】 【考点梳理】 考点一、二次函数的定义 一般地，如果（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 考点二、二次函数的图象及性质 1.二次函数(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点为． 2.当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下． 3.①|a|的大小决定抛物线的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． ②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴． ③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab＞0时，对称轴在y轴左侧；当ab＜0时，对称轴在y轴的右侧． 4.抛物线的图象，可以由的图象移动而得到． 将向上移动k个单位得：． 将向左移动h个单位得：． 将先向上移动k(k＞0)个单位，再向右移动h(h＞0)个单位，即得函数的图象． 5. 几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 考点三、二次函数的解析式 1.一般式：(a≠0)． 若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a、b、c的值． 2.交点式（双根式）：． 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：． 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 4.对称点式：． 若已知二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求二次函数为 ，将已知条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式． 考点四、二次函数(a≠0) 的图象的位置与系数a、b、c的关系 1.开口方向：a＞0时，开口向上，否则开口向下． 2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧． 3.与x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点． 考点五、二次函数的最值 1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)， 即当时，． 2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内． ①若在此范围内，则： 当a＞0时，， (此时，)； 当a＜0时，， (此时，)． ②若不在此范围内，则： 当y随x的增大而增大时，(此时，)， (此时，x＝x1)； 当y随x的增大而减小时，(此时，)， (此时，x＝x2)． 考点六、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 【典型例题】 题型一、应用二次函数的定义求值 例1．已知抛物线y=（m-1）x2+mx+m2-4的图象过原点，且开口向上． （1）求m= 2，并写出函数解析式 y=x2+2x ； （2）写出函数图象的顶点坐标 （-1，-1） 及对称轴 x=-1 ． 【变式】已知抛物线过原点，求m． 题型二、二次函数的图象及性质的应用 例2．已知点M(-2，5)，N(4，5)在抛物线，则抛物线的对称轴为________． 【变式1】如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点.