6.4.3 余弦定理课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

N 海 M 必 6.4.3(1)余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理证明方法。（数学抽象） 2.会运用余弦定理解决三类基本的解三角形问题。（数学运算) 3.会运用余弦定理判断三角形的形状（数学思维） 三角形中的边角关系 ◆内角和定理（三个角） ◆勾股定理（直角三角形的三条边） 边角的定量关系 ◆锐角三角函数（直角三角形的边和角） ◆大边对大角，小边对小角 ◆ 全等三角形的判定 边角的定性关系 (SSS,SAS,AAS,ASA) 问题： 如果三角形中已知两边及其夹角，那么这个三角形是唯一确定的吗？ 是 探究： 在三角形ABC中，三个角A,B,C所对的边分 别是a,b,c,怎样用a,b和C表示边c? 因为涉及到三角形的两边长和它们的夹 ，所以可以考虑用向量的数量积来研 究 c=a -b +2 =c=(a-i2=a+b-2a.6 +2 a2+b2-2abcos C. 同理可得 b2+c2- 2 bc cos A b 2 ac cos B 1.余弦定理 余弦定理：△ABC中，A,B,C所对的边长分别是a,b,c,则 a2 b2 +c2-2bccos A, 作用1：知两边 b2=a2+c2-2accos B, 及夹角求第三边 c2=a2+b2-2abcosC, 思考：在c2=a2+b2-2 ab cos C中，若C=90°， 公式会变成什么？ 勾股定理 你能说说这两个定理之间的关系吗？ 勾股定理是余弦定理的特例. 余弦定理是勾股定理的推广。 题型一：（知两边及夹角） 知哪角，用哪式 例1.△ABC中，若a=2√3，c=6+√2，B=45°，求b. 解：由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B =25}+(W6+V2)2-2×2W3x(V6+V2)×c0s450=8 ∴b=2W2, 变式：.△ABC中，B=120°，AB=7,BC=3,则AC= 推论： b2+c2-a2 cos 4= cosB= a2+c2-b2 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= 作用2：知三 2ab 边求任一角 题型二：知三边解三角形 例2.△ABC中，a=2,b=V6,c=√3+1，求最小角的大小 解：由余弦定理得cosA b2+c2-a2_（W6}+(3+1)2-22_V2 2bc 2×√6×(W3+1) 2 又：A∈(0，π）.A=45° 探究：判断三个命题是否正确 在△ABC中，若满足a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形。 在△4BC中，若满足a2+b2>c2,则△4BC为锐角三角形。× 在△4BC中，若满足a2+b2<c2,则△4BC为钝角三角形。√ 对在△4BC中，若满足a<b<c且a2+b2>c2, 则公ABC为锐角三角形。 作用3：定形状 “解三角形”的含义 角A的对边边长：a 角B的对边边长：b 角C的对边边长：c ●把三角形的三个角A,B,C和它们的对边边长a,b,c叫三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 重解例1 [例]ΔABC中，若a=2\sqrt{3}，c=\sqrt{6}+\sqrt{2}，B=45^∘，解三角形。 “知a，c及夹角B”：(余B)求第三边b→(余A)求角A→(内)求角C=180°-A-B 解：由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2accosB =(2\sqrt{3})+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2-2×2\sqrt{3}×(\sqrt{6}+\sqrt{2})×cos45^0=8 ∴b=2\sqrt{2}， ewA-F+c--s20+\sqrt{6}+2-0)工(0) ∴A=600∴C=1800-60^0-45^0=750