2023年中考数学一轮复习9--圆综合

( 圆综合 ) 考情分析： 圆综合大题一般在21题，分值12-14分，占分值较大，主要是证明题和材料题，证明题中一般第一问是证明切线，或切点，利用切线的判定及性质，第二问是计算线段长度或角度，常用三角形全等或三角形相似，也会利用到30度角的直角三角形，锐角三角函数，一般都是需要做辅助线；材料题难度较大，前两问可以根据给出材料证明，第三问较难，一般会利用到三角形相似，平行线性质。解题关键是熟练掌握垂径定理及其推论， 利用辅助线构造三角形形似或全等。 一、三大定理及推论 1、垂径定理及推论 定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 推论 推论1 a.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. c.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 推论3 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中的任意两项，则必具备另外三项. 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半。 推论：1、同弧或等弧所对圆周角相等。 2、半圆（或直径）所对圆周角是直角，90º的圆周角所对弦是直径。 3、切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 二、1、切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径 考点一、切线的判定 题型一、利用平行关系判定切线 【例】（2022日照12分）如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练】 （2021淄博）22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA； （2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积． 题型二、圆周角定理及推论判定切线 【例】（2021济宁）20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长． 【总结】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． （2022•玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B． （1）求证：AC是⊙O的切线；2）点E是AB上一点，若∠BCE=∠B，tan∠B= ，⊙O的半径是4，求EC的长． 【总结】考查圆周角定理、切线证明，勾股定理 题型三、垂径定理判定切线 1、（2022•西藏）如图，在△ABC中，AC=CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）若∠ACB=80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数． 【总结】考查垂径定理判定切线 题型四：利用全等证切线 【例】（2021枣庄）23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长． 【总结】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 【变式训练】（2021莱芜）23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CB⊥AB，D为圆上一点，且AD∥OC，连接CD，AC，BD，AC与BD交于点M． （1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝AD，求的值． 题型五、利用角度转化证切线 【例】（2022聊城）24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交