2023年中考九年级数学一轮复习：二次函数与动态几何

2023年中考九年级数学一轮复习：二次函数与动态几何 一、综合题 1．如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，E点是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB=1． （1）求经过点O，A，E三点的抛物线解析式； （2）点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时△OAP的面积为2，请求出点P的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点Q，使△AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l1交于点K，如图所示． （1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式； （2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由； （3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（6，0），点B（0，6），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点. （1）圆心M的坐标为　 　； （2）抛物线经过点B，且以圆心M为顶点，求抛物线的解析式； （3）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式； （4）若（2）中的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交（3）中的直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.求EF的最小值. 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 ，点A的坐标是 ，P为抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点D，交直线 于点E，抛物线的对称轴是直线 . （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P在第二象限内，且 ，求 的面积． （3）在（2）的条件下，若M为直线 上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使 是以 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系内，抛物线 与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D．点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）. （1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当 的周长最小时，求 面积的最大值； （2）在（1）的条件下，当 的面积最大时，过点E作 轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N，再将点N向上平移 个单位长度.得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形.若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由. 6．如图，抛物线 与 轴相交于 两点（点 在点 右侧），过点 的直线交抛物线于另一点 ，点 的坐标为 . （1）求 的值及直线 的函数关系式； （2） 是线段 上一动点，过点 作 轴的平行线，交抛物线于点 ，交 轴于点 . ①求线段 长度的最大值； ②在抛物线上是否存在这样的点 ，使得 与 相似？如果存在，请求出满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 7．将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，点A(4， 0)，点C(0， 2)，点O(0，0)，点B在x轴负半轴，点E在线段AO上以每秒2个单位长度的速度从A向点O运动，过点E作直线EF⊥x轴，交线段AC于点F，设运动时间为t秒．将△AEF沿EF翻折，使点A落在x轴上点D处，得到△DEF． （1）如图①，连接DC，当∠CDF=90°时，求点D的坐标． （2）①如图②，若折叠后△DEF与△ABC重叠部分为四边形，DF与边BC相交于点M，求点M的坐标（用含t的代数式表示），并直接写出t的取值范围； ②△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写当出结果即可）． 8．如图，已知抛物线 与一直线相交于 ， 两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线 的函数关系式； （2）若抛物线的对称轴与直线 相交于点B，E为直线 上的任意一点，过点E作 交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （3）若P是抛物线上位于直线 上方的一个动点，求 的面积的最大值． （4）设点M的坐标为 ，直接写出使 的和最小时m的值． 9．如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（2，0）