6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第章平面向量及其应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 3.余弦定理、正弦定理应用举例 20233-8 余弦定理： 余弦定理推论： b2+c2-a2 cosA= a2 =b2 +c2-2bc cos A; 2be c2+a2-b2 b2=a2+b2-2ac cos B: COSB= 2ca c2=a2+b2-2abcosC. a2+b2-c2 cosC= 正弦定理： 正弦定理的变形： 2ab a C a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C =2R sin A sin B sin C sinA= Rm8= 2R'sin C= 2R a: b:c sin A sin B:sin C 在AABC中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要 记熟并灵活地加以运用： A+B A+B A+B+C=π；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC sin =cos 己知三角形中的三个元素解三角形的策略： (1)已知两边及其夹角 (SAS);一用余弦定理求解 (2)己知三条边(SSS)；一用余弦定理求解 (3)已知两边及边对角(SSA);一用正余弦定理都可解 (4)已知两角和边(ASA,AAS)；-一用正弦定理求解 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这 类间题，我们常会碰到一些测量专有概念： 1.仰角和俯角 目标视线 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 铅垂线 仰角 水平视线 俯角 视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目 标视线在水平视线下方时叫俯角 目标视线 2.方向角 北 从指定方向线到目标方向线所成的水平角 西 60° 如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向 目标方向线 西旋转60°.（如图所示） 南 3.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方 方位角60 向线之间的夹角叫做方位角. 方位角0的范围是0°≤0<360° 目标方向线 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰 当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况，需要注意的是， 题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件 往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案， 而且是这种情境与条件限制下的恰当方案 、测量距离° 1.两不相通的距离 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用以 下哪组数据?（—） A．a，a，b、B.a，β，aC.a，b，γD．a，β，b 解：由余弦定理，可得AB^1=v=a+b^2-2abcosγA ∴选择a，b，γ可直接求出AB的长度。 小结：A，B两点间不可通或不可视 先测角C，AC=b，BC=a，再用余弦定理求AB 2.可到达点与不可到达点之间的距离 如图，A,B两点分别在河的两边，测量A,B两点间的距离 解：如图，在A的一侧选取点C,测得 AC=a,∠BAC=a,∠BCA=β. 由正弦定理，得 AB sin B sin(π-aB) 4Csin B asin B ..AB sin(a-B) sin(a+β) 小结：A,B两点间可视，但有一点不可达 以点B不可达为例，先测角A,C,AC一a,再用正弦定理求AB 探究新知 3.两个不可到达点之间距离 (例9)如图示，A,B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间 距离的方法，并求出A,B的距离. 解：如图，在A,B两点的对岸选定两点C,D,测得 CD=a,∠BCA=a,∠ACD=p,∠CDB=y,∠BDA=6. .AC asin(y+δ) 4sin(ytδ) sinπ-(B+y+8】 sin(f+y+δ) asiny asiny BC sinl-(a+B+y)l sin(a+B+r) .AB=√AC2+BC22AC×BCcosa a'sin(y +6) a'sin'Y 2a sin(y +8)siny cosa sin2(β+y+δ) sin(a+B+y）sin(β+y+δ)sin(a+p+y) 小结：A,B两点都不可达 测得CD=a,∠BCD,∠BDC,∠ACD,∠ADC, 在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC; 在△ABC中用余弦定理求AB. 二、 测量高度 底部不可达 (例10)如图示，AB是底部B点不可到达的一座建筑，A为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图示，选择一条水平基线HG,使H,G, B三点在同一条直线上.在G,H两点用测角仪 器测得A的仰角分别是a,B,CD=a,测角仪器 的高是h.那么，在△ACD中，由正弦定理，得 AC= asin B sin(a-B) 建