2023年九年级中考数学备考讲义：一元二次方程的应用（四）---存在性问题

一元二次方程的应用（四）》 -存在性问题 一、知识要点： 探索存在性问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的 问题。与一元二次方程相结合的探索存在性问题是一元二次方程的应用中的热点问题。解决 这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推 出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。 二、题型： (一)探索特殊位置存在性问题： 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线 A→B→C向点C运动，同时点O以1cm/s的速度从顶点C出发沿边CD向点D运动.当其中 一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动： (1)两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的。？ (2)是否存在某一时刻，点P与点Q之间的距离为√5cm?若存在，直接写出运动所需的时 间为；若不存在，请说明理由 (3)直接写出PQ长度的最小值 D 2.如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P, Q分别从A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为1秒. (1)填空：BQ cm,PB= cm:(用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APOCD的面积等于26cm?若存在，请求出此时t的值： 若不存在，请说明理由. P、 B→_ρ～c 3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90^∘，AC=30cm，BC=25cm．动点P从点C出发，沿CA 方向运动，速度是2cmls；同时，动点Ω从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s． （1）几秒后△PCQ是等腰三角形? （2）几秒后P、Q两点相距25cm? （3)设△CPQ的面积为81，△ABC的面积为8_2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_1 8_2=2:5?若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由． c A^′______B 4．如图，在△ABC中，∠C=90^∘，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C 以lem/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2em/s的速度移动． (1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使PQ的长为4\sqrt{2}厘米? (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC边向点C以 1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动； 1)若P，Q两点同时出发，几秒后可使△PQC的面积为8cm^2? (2)若P,Q两点同时出发，几秒后P阳的长度为125 cm (3)△PCQ的面积能否等于△ABC面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理 由 ch 6.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度 向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cms的速度向终点C运动，它们到达终点后 停止运动。 (1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍： （2)是否存在时间t使得△DPO的面积是22cm2?若存在请求出t,若不存在，请说明理由. D 个 - (二)探索特殊图形存在性问题： 1.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、 C同时出发，点P以3cms的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P运 动到点B停止时，点Q也随之停止运动 (1)问：运动 秒后，点P和点Q的距离是10cm. (2)问几秒后，△PQD是否存在以PD为腰的等腰三角形？若存在，求出t值：若不存在， 说明理由： (3)问多少秒后，以P、Q、D三点为顶点的三角形为直角三角形？请写出计算过程. D 2.如图，在四边形ABCD中，AD11BC,∠B=90°，AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm. 动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2Cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出 发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P,Q分别从点B,A同时出发，当点Q 运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为1（秒）. (1)当0<t<10.5时，是否存在点P,使四边形PQDC是平行四边形，若存在，请求出所有 满足要求的t的值：若不存在，请说明理由。 (2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的四边形面积等于60cm2; (3)当0<t<10.5时，是否