4.1.2数列的递推公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

人教A版2019选修第二册 第四章 数列 4.1.2 数列的递推公式 第四章 数列 回顾1 数列的概念是什么？ 数列的概念：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数都叫做数列的项. 数列的一般形式是 : ，简记为. 回顾2 什么是数列的通项公式？ 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 复习回顾 探究一：数列的递推公式 探究新知 创设情境 意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题： 如果一对兔子（一雌一雄）每月可以生下一对兔子，而初生兔子在出生后第二个月长大成熟，在第三个月又能生一对兔子。假定在不发生死亡的情况下，由一对初生兔子开始，50个月后会有多少对兔子？ 初生兔子 成熟兔子 兔子总数（对） 第1月 第2月 第3月 第4月 长大 生 生 第5月 1+0=1 0+1=1 1+1=2 1+2=3 2+3=5 长大 时间/月 初生兔子/对 成熟兔子/对 兔子总数/对 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 5 6 7 8 1 21 13 8 13 5 8 5 3 8 5 2 3 2 3 … … … … 从第1个月开始,以后每个月的兔子总对数是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …. 你发现这个数列的规律了吗？ 探究新知 如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数，数列的规律是递推关系: Fn=Fn-1+Fn-2(n>2) 这个数列称为斐波那契数列. 递推公式 : 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 作用: 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 典例分析 例4 下图就是一系列三角形图案的谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成数列的前4项，请你写出这个数列的通项公式。 1 3 9 27 这个数列的一个通项公式是 1 3 9 27 问题1除了通项公式，你还能发现这个数列的项的其它取值规律吗？ ×3 ×3 ×3 从第二项起，后一项是前一项的3倍 ....... 当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算来寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察. 典例分析 例5 已知数列的首项为，递推公式为 ,写出这个数列的前5项. 解：由题意可知 总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项. 回顾：到目前为止，数列一共有多少种表示方法？ 探究新知 问题2 通项公式与递推公式有什么差别与联系呢？ 1. 根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第5项的图形和点数. 21 13 35 课本P8 小试牛刀 2. 根据下列条件, 写出数列{an}的前5项: 课本P8 小试牛刀 课本P8 n 小试牛刀 探究新知 探究二：数列的前n项和 探究数列的前n项和 问题3 阅读课本第五页，并回答问题：什么是数列的前项和公式？ 数列的前项和: 我们把数列{}从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作 即 。 数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式. 探究新知 问题4 数列的前n项和公式与数列的通项公式有何联系？ 前项之和 即 时， Sn 与an的关系式 Sn 与an的关系式 探究新知 例3 已知数列{an}的前项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？ 解：因为a1=S1=2， an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)] =2n(n≥2), 并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立. 所以{an}的通项公式是an=2n. 典例分析 由Sn 求an需要检验 课本P8 4 目标检测 检验效果 1.递推公式：①初始值；②递推关系式 课堂小结 已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式 探究新知 探究三：利用递推公式求数列的通项公式 1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋ (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式. 解：由递推式可得， a2－a1 = 1， a3－a2 = 1， … an－an－1 = 1 拓展训练 把以上 n-