微专题06 妙用等和线解决平面向量系数和与差问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

学科购 李科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题06妙用等和线解决平面向量系数和与差问题 【题型归纳目录】 题型一：x+y问题（系数为1） 题型二：mx+y问题（系数不为1） 题型三：mx-y问题 【知识点梳理】 (1)平面向量共线定理 己知OA=入OB+uOC,若1+4=1，则A,B,C三点共线：反之亦然。 (2)等和线 平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=入OA+uOB(2,H∈R),若点P在直线AB上或者在平行 于AB的直线上，则入+4=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线AB时，k=I: ②当等和线在0点和直线AB之间时，k∈(0,1)： ③当直线AB在点0和等和线之间时，k∈(L,+0): ④当等和线过0点时，素=0； ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数： 【典型例题】 题型一：x+y问题（系数为1） 例1.(2023·全国·高三专题练习)在aABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若 AN=2AB+4AC(入，H∈R),则入+4的取值范围是(） A. 11 32 c.[0, D.[,2 【答案】C 【解析】由题意，设AN=tAM,(0≤1≤I), 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科问原创，让学习更容易！ coM学科网精品频道全力推荐 当t=0时，AN=0，所以λAB+μAC=0， 所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0， 当0<t≤1时，因为AN=λAB+μAC（λ，μ∈R)， 所以AM=λAB+μAC，即M-2AB+#xC 因为M、B、C三点共线，所以二+“=1，即λ+μ=tε(0，] 综上，λ+μ的取值范围是[0.] 故选：C 例2.(2023春·陕西西安·高一高新一中校考阶段练习）在ΔABC中，M为边BC上的任意一点，点N在 线段AM上，且满足AN=_5NM，若下=λ石+μAx(%，μεR)，则λ+μ的值为(） B.号C.1D.4- 【答案】A 【解析】设丽=BC0tD，W_号M， 所以N-而-_号2B+B) -(-2)x+4x， 又AN=λAB+μAC， 故选：A． 例3．（2023·湖南·高考真题）如图，OMl/AB，点P由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区 域内（不含边界)，且OP=xOA+yOB，则实数对(x，y)可以是（） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利购 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 B M 别 B(别 c.（到 【答案】B 【解析】由OM1HAB,设AB=1OM,且1>0， 故OP=xOA+yOB=xOB-AB+yOB=(x+y)OB-x元OM, x+y>0 由图可知 0,国2>0，所以020，故AC编 当 5 > 时，x+y>1,点P在AB的右上方，不满足趣意，故D错 故选：B 例4.(2023·全国·高三专题练习)已知aABC的外接圆圆心为0，∠A=120°，若A0=xAB+yAC(x, yR),则x+y的最小值为() A. B D.2 【答案】D 【解析】设OA与BC交点为E,设OE=m,圆的半径为R,D为BC中点，如图所示： 则0=R花，设花=B+C,因为BC,E三点共线，则元+μ= R-m 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利购 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 R 所以40=AB+yAC=一人2AB+uAC,放x+yRm2+R- R-m 因为∠A=120°，则∠C0D=60°所以0D=Rcos60°=R R之R 则≤m<R,故R-m石习 所以x+y的最小值为2 2 故选：D 题型二：mx+y问题（系数不为1） 例5.(2023·全国·高三专题练习)已知0是△4BC内一点，且OA+OB+OC=0,点M在△0BC内（不 含边界)，若AM=入AB+4AC,则2+2μ的取值范围是 A. B.(1,2 D.( 【答案】B 【解析】因为O是△ABC内一点，且OA+OB+OC=0 所以O为△ABC的重心 M在△OBC内（不含边界），且当M与O重合时，1+24最小，此时 =面+4C-+C到-号而+C 所以2-u=号甲+24=1 1 当M与C重合时，+24最大，此时 AM=AC 所以入=0,4=1，即1+2μ=2 因为M在△OBC内且不含边界 所以取开区间，即2+2μ∈(1,2)】 所以选B 例6.(2023·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0，P为圆0上任一点， 若AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 令学利购 李科网原到，让学司更会易