微专题05 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

令学利回 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题05妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题 【题型归纳目录】 题型一：定值问题 题型二：范围与最值问题 题型三：求参问题以及其它问题 【知识点梳理】 (1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： D a a+BP+la-BP=20aP+BP) 证明：不妨设AB=a,AD=石，则AC=a+b,DB=a-b 4C=Ac2=(a+°=+2a.i+ ① DB=DB'=(a-B)=a"-2a.B+B ② ①②两式相加得： 4C+D=2+)=2a+aD) (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：（ā+-(a-] 极化恒等式 ①平行四边形模式：a-6=4C-D8] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 1 41 ②三角形模式：a-=AM-DBaM为BD的中点) 【典型例题】 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科阿 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 题型一：定值问题 例1.(2023全国高三专题练习)如图，在aABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点， BACA=4,BFCF=-1,则BECE的值是() B A.4 B.8 c D. 【答案】C 【解析】因为D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点， 所以BF:BD+DF,CF=CD+DF=-BD+DF, BA=BD+DA=BD+3DF.CA=CD+DA=-BD+3DF. 所以BF.CF=(BD+DF(-BD+DF=DF2-BD=-1, BACA=(BD+3DF-BD+3DF=9DF'-BD'=4. 可得示各，而片 因为BE=BD+DE=BD+2DF,CE=CD+DE=-BD+2DF 所以BEC证=(BD+2DF)(-BD+2DF)=4DF2-BD'=4×2_13-2 888 故选：C. 例2，(2023全国高三专题练习)如图，在aABC中，D是BC边的中点，E,F是线段AD的两个三等分点， 若BACA=7,BE.CE=2,则BF,CF=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【解析】依题意，D是BC边的中点，E,F是线段AD的两个三等分点， 则i.a-}c-Dc-4o 4AD-BC'36FD-BC-1. 4 4 2 夏原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 于科问原创，让学习更容易！ p。zxx cOM学科网精品频道全力推荐 因此B’=1BC^’=s，B·CF-(1BC-p)(-_BC-p)-FD-BC^4x1-314--―4_ 故选：B 例3.（2023全国高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，点E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF·FG+GH·HE= A”E B D号 【答案】A 解断取H中点O，则正反=正面=6- oi ’1小号 ci正=cB.ar=co-on-+号因此取6+GHE号，选A 题型二：范围与最值问题 例4.（2023山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为 正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是 【解析】如下图所示： -C 设正方形ABCD的内切圆为圆O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径， 两两-(p·0v)(ω-ov)-回-可-一 实原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 学科网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 当P为正方形ABCD的某边的中点时， on. 当P与正方形ABCD的顶点重合时， 因此，pWm=p阿-40 故答案为： 例5.(2023湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段， AD=4,AB=8√5，BC=I2,则BE.BF的取值范围为 D B 【答案】[99,148] 【解析】在BC上取一点G,使得BG=4,取EF的中点P,连接DG,BP, 如图所示： 则DG=85,GC=8,CD=8+(85=16, tan∠BCD=8y5-5,即∠BCD=60 E丽E+F-(E-]-E]驴-， 当BP1CD时，BP取得最小值，此时BP=12×sin60'=65, 所以(BE.BF）=(65-9=99 当F与D重合时，CP=13,BC=12, 则B=122+132-2×12×13×=157, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 学科网 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 当E与C重合时，CP=3,BC=12, 则旷=12+3-2x12x3×对17