微专题04 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

学利科购 学科网原创，让李司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题04平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1. (2)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等， (3)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等 (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直 二、三角形四心与推论： (1)0是△ABC的重心：Soc:SAoA:SAm=1:1:1台OA+0B+0C=0. (2)0是△ABC的内心：SAc:Saco4:SaoB=a:b:c台aOA+bOB+cOC-0. (3)O是△ABC的外心： SAm0c:SAco SA408 sin 2A:sin 2B:sin 2Csin2404+sin2BOB+sin 2COC=0. (4)O是△ABC的垂心： SAmoc SAco SAO8=tan A:tan B:tan C+tan 404+tan BOB+tan COC=0. 【方法技巧与总结】 (1)内心：三角形的内心在向量 AB AC 所在的直线上 AB AC AB·PC+BC·PC+CAPB=O台P为△ABC的内心. (2)外心：PA=PB=PC台P为△ABC的外心 (3)垂心：PAPB=PB.PC=PC,PA一P为△ABC的垂心 (4)重心：PA+PB+PC=0÷P为△ABC的重心 【典型例趣】 题型一：重心定理 例1.(2023春山东聊城高一山东聊城一中校考阶段练习)已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足 GA+GB+GC=0,则G点是三角形ABC的() A,垂心 B.内心 C.外心 D.重心 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【答案】D 【解析】因为GA+GB+GC=0,所以GA+GB=-GC=CG 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB,连接GD交AB于点O.如图所示： G D 则CG=GD,所以GO=CO,CO是4B边上的中线，所以G点是△4BC的重心 3 故选：D 例2.(2023春·山东·高一阶段练习)已知G是aABC的重心，点D满足BD=DC,若GD=xAB+yAC, 则x+y为() A B. c D.1 【答案】A 【解析】因为BD=DC, G B D 所以D为BC中点， 又因为G是△ABC的重心， 所以GD=AD, 又因为D为BC中点， 所以而-号B+号C, 所以而-+号0名+c, 6 6 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1 所以x=y= 6 所以x+y=) 1 故选：A 例3.(2023春·上海金山高一上海市金山中学校考期末)记aABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点G是 aABC的重心，若BG⊥CG,5b=6e则cosA的取值是() A. 59 B. 57 c.11 D. 61 75 75 15 75 【答案】D 【解析】依题意，作出图形， 因为点G是△4BC的重心，所以M是BC的中点，故AM=(4B+AC) 由已知得BC=a,AC=b,4B=c, 因为BG1CG,所以GM-号8C- 又因为点G是4BC的重心，所以GM-04,则M-0+a 3, 又因为-B+4C所以02+8+2cs4小，则9r2=2+公+2ceos4 又由余弦定理得a2=c2+乃2-2 becos A,所以9c2+b2-2 becos A=c2+b2+2 becosA,整理得 2c2+2b2-5bc cos A=0. 因为56=6c,令b=6k(k>0),则c=5k, 所以2×(5k)+2×(6k)-5×(6k)×(5k)cosA=0, 则cosA=12261 15075 故选：D 空原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 令学利阿 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 M 题型二：内心定理 例4.(2023春江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知点P为aABC的内心， ∠BAC=名元，AB=L4C=2,若P=2AB+AC,则A+- 3 【答案】9-37 2 【解析】在△ABC,由余弦定理得BC=√AC2+AB2-2AC·AB cos∠BAC=√7， 设O,O,N分别是边AB,BC,AC上的切点，设AN=A0=x,则NC=QC=2-x,BO=BQ=1-x,所以 BC=B0+QC=1-x+2-x=万与r=3-7 2 由AP=元AB+uAC