微专题03 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

令学利阿 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题03妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目承】 题型一：直接使用奔驰定理 趣型二：三角形面积比问趣 【方法技巧与总结】 奔驰定理-解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点 己知△ABC的顶点A(:,片)，B(x2,)，C(x,乃)，则△ABC的重心坐标为 G西++5，当++) 3 3 注意：(1)在△ABC中，若0为重心，则OA+OB+0C=0. (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等 重心的向量表示：。 奔驰定理：S,OA+SBOB+S.OC=0,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于 九：元2： 奔驰定理证明：如图，令入OA=OA，入OB=OB,入OC=OC,即满足OA1+OB1+OC1=0 SAoB=1,SAc=1,SABcC=1 Sa40s不’Sa40c7’Sa0c ，故Sa0B:S△oc:S么0c=九2：2 【典型例趣】 题型一：直接使用奔驰定理 例1.(2023春河南安阳·高一统考期末)已知0是△ABC内的一点，若△BOC,△4OC,△AOB的面积分别记为 S,S2,S3,则S,·0A+S,·0B+S,·0C=0这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的ogo很相似，故形象地称其为 “奔驰定理”如图，已知O是aABC的垂心，且OA+20B+3OC=0,则tan ZBAC:tan ZABC:tan ZACB-() 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究」 1 令学利网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 B A.1:2:3 B.1:2:4 C.2:3:4 D.2:3:6 【答案】A 【解析】O是aABC的垂心，延长CO,BO,AO分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图， 则CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC, S,_BP OPtan∠BOP tan∠BAC 因此， S tan ZBAC S,4P OPtan.∠40P-tan.∠ABC,同理 :tan∠ACB' 于是得tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=S,:S,:S, 又01+20i+30c=0.即0c=号0i-号0丽，由奔能定理"有5,0i+5,0丽+5,0c.0, 则0c-令0丽-受0丽，面01与0不线，有受-含-导甲5=12， S S 所以tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠ACB=1:2;3 故选：A 例2.（多选题)(2023高一单元测试)如图，P为△ABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为，b,c,则总 有优美等式S。c·PA+S6P4C·PB+SAP4BPC=0成立，此结论称为三角形中的奔驰定理由此判断以下命题 中，正确的有() B A.若P是△ABC的重心，则有PA+PB+PC=O 空原创精品资源学利网独家享有版权。侵权必究！ 2 金学利四 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 B.若aPA+b.PB+c.PC=0,则P是aABC的内心 C.若P=B+2AC,则Sc:Sc:SpB=2:21 D.若P是aBC的外心，且A=妥，则m+sin∠APC-P历+sm-∠APC小，PC=0 (2 【答案】ABD 【解析】对于A,P是△ABC的重心，则SPsC=SPAC=S.PAB 代入S&PsC·PA+SAP4c·PB+SArPC=0就得到PA+PB+PC=0,正确： 对于B,设点P到边BC,AC,AB的距离分别为h,h,h, 由+5.eP丽+5paPc=6,-PA+Mp丽+cP元-0，即 ah·PA+bM·PB+ch,PC=0,与已知条件aP+b.PB+c.PC=i比较知，=h2=h,则P是aABC的内心， 正确： 对于c,币-B+C-丽-P网列+PC-网列.即2a+Pm+2c=0, 与SamePA+Sa4c·PB+S6p4BPC=0比较得到，SPc:SPuc:SP4Bc=2:l:2,错误； 对于D,P是△ABC的外心，且∠A=牙，则∠BPC=,设三角形外接圆半径为R, 代入奔笔定理即可得到P网+i∠4PC.丽+sm(经-∠4PCP元，0，正确， 故选：ABD 例3.（多选题）(2023春山东济宁高一统考期中)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这 个定理对应的图形与“奔驰“轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理： 己知O是aABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为S,Sa,Sc,则有S,0A+S。0B+Sc·0C=0.设 O是锐角aABC内的一点，BAC,∠ABC,∠ACB分别是aABC的三个内角，以下