微专题07 三角形中的范围与最值问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

令学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 微专题07 三角形中的范围与最值问题 【趣型归纳目录】 题型一：周长问题 题型二：而积问题 题型三：长度问题 题型四：转化为角范围问题 题型五：倍角问题 题型六：与正切有关的最值问题 题型七：最大角问题 题型八：三角形中的平方问题 题型九：等面积法、张角定理 【方法技巧与总结】 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题， 通常有下列五种解题技巧 (I)利用基本不等式求范围或最值： (2)利用三角函数求范围或最值： (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值： (4)根据三角形解的个数求范园或最值： (⑤)利用二次函数求范围或最值 要建立所求量（式子）与己知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值， 转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围 限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大 2、解三角形中的范围与最值问题常见愿型： (①)求角的最值： (2)求边和周长的最值及范围： (3)求面积的最值和范围 【典例例题】 题型一：周长问题 例1.(2023·云南·昆明市第三中学高一期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 asinC=ceos4-7。 (1)求A: (2)从三个条件：①△ABC的面积为√5；②b=V5;③a=√5中任选一个作为已知条件，求aABC周长的取 值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【解析】(1)在△ABC中，由 sim"sinc得：csin4=asinC,又asinC=ccos4-6 .tanA=V5,又A∈(0，π)， ②选择O:因为A-号则besi细A=5be=5,得be=4, 2 4 由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b+c)-3bc=(b+c)2-12, 即△ABC的周长1=a+b+c=V(b+c)2-12+b+c, 因为b+c≥2√c=4,当且仅当b=c=2时等号成立， 所以1≥√42-12+4=6，即aABC的周长的取值范围是[6，+∞). 选择②：6=5，因为A=号6=5 2 3 由正弦定理得a= 2sin B'c= 5sinc.5sin(5-B） 3cos B3, sin B sin B 2sin B2 3 3cos B 33 3(1+cos B)33 6cos2B 即△ABC的周长1=a+b+c= 2+35.3+35 2sin B 2sin B'2 2sin B 2 BB 4sin cos 2 B 2' 2 tan 2 因为e0)则0 B 故0<tan5<5, 3 3w 所以 B 2 tan 2 >25，即a4BC的周长的取值范围是(25，+)： 选择③：a=V5.因为A=刀， 'a=5, 由正弦定理得b。=C=a=2, sin B sinC sinA 即a48C的周长1=a+b+c=2snB+2snC+5=2inB+2sn(2行-B6 =3sin B+3cosB+3=23sinB++ 6 即△ABC的周长的取值范围是(2√5,3、5) 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 例2.(2023·重庆·高一阶段练习)已知向量ā=(3sinx,cosx),万=L,1),函数f(x)=a-b. (1)求函数f(x在0，x]上的值域： (2)若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且f(A)=2,a=1,求aABC的周长的取值范围. 【解析】()依题意，f)=a.6=V5sinx+cosx=2sin(x+), 由e得+[得会[习 所以fx)=2sin(x+)在0，上的值域为-1,2 （②由八利=2n4+爱-2得，n4+名-1,40，则有4+名=受解得4=号 6 6 在△ABC中，由余弦定理得， 1=abi+c-2bccosA=b+e-bc=(b+e)-3bcz(b+e)-3b+e)(b+c) 4 4 当且仅当b=c=1时取=“，即有0<b+c≤2，又因为b+c>a=1,则1<b+c≤2， 因此2<b+c+as3, 所以△ABC的周长的取值范围为(2,3引。 例3.(2023·浙江·高三专题练习)锐角aABC的内切圆的圆心为O,内角A,B,C所对的边分别为a, b,c若V3bc=b2+c2-a2tanA,且aABC的外接圆半径为1，则△B0C周长的取值范围为 【答案】(25,2+V3 【解折】解：由余弦定理，得5c=2 becos