第09讲 立体几何综合问题-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

令学利科购 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第09讲立体几何综合问题 例1.★★★女女 己知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线4AD与底面BCD所成角为，则此时 三棱锥外接球的表而积为 答案：8x 解析：取BC的中点E,连接AE,DE,设AD=x,则BE=EC=x,AB=AC=BD=CD=2, ∴AE⊥BC,DE⊥BC,BC⊥平面ADE∴.平面ADE⊥平面BCD, .∠ADE是AD与平面BCD所成的角，∠ADE=60°， :AE=DE=V4-x2=x,x=√2，即E为A-BCD的外接球的球心， 所以外接球的表面积为S=4πx2=8π， 练1-1，★★☆☆☆ 正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长是4，侧棱长为2√6，则此球的 表面积 答案：36元 解析：由图知，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO上，设为点O,:PO=A0=R, P0,=4,00,=r-4,在Rt△A00中，R2=8+(R-4)，得R=3,S=36π. 第1页共10页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 了间网子计问原到，让学习更答当！ JP。zxXK。COM学科网精品频道全力推荐 练12.★★★☆☆ 正四棱柱ABCD-AB，C.D_A的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值(大 或小)，为_—— 答案：大，4\sqrt{2}R1 解析：如图，截面图为长方形ACAC，和其外接圆， 球心为E，E，E_2为AC，AC，的中点)的中点O，则R=0A， 4R2=2a^2+b，则正四棱柱的侧面积：s=4b=\sqrt{2}-2a-\sqrt{2}b≤\sqrt{2}a+2F)=4\sqrt{2}R， 故侧面积有最大值，为4\sqrt{2}R^3，当且仅当a=\sqrt{2}b时等号成立 例2.★★★☆★ 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=\sqrt{2}，则三棱锥外接球O的表面积等于 答案：4π) 解析：以AB，BC，SA为长、宽、高补体成长方体，三棱锥S-ABC的外接球与长方形外接球一样， 设球半径为R，2R=l=\sqrt{SA}^2+AB^2+BC=\sqrt{l}+1+2=2，即R=1，所以，S=4πR^2=4π。 第2页共10页 学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 练2-1. ★★★☆☆ 如图，三棱锥P-ABC,AB=1,AC=2,AP=3,AB,AC,AP三条棱互相垂直，求三棱锥外接球的 表面积. 答案：14x 解析：根据题意，将三棱锥补成以AB,AC,AP为长宽高的长方体 设球半径为R,2R=aB+4C+4P=于49=厅，即R=亚，所以S=4标R2=14x。 2 练2-2.★★★☆☆ 若正四面体的棱长为4，求其外接球的体积 答案：8√6π 解析：如图，可将正四面体补成一个正方体，正四面体的棱长为正方体的面对角线， 此时正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的边长为a=4 =2V2, 设外接球的半径为R,2R=5a=5x8=26,即R=V6,所以S=4R=8√6m 3 例3.★★☆☆☆ 若三棱锥的体积为V,表面积为S,则可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R= 答案： 3V 解析：若三棱维表面积为5，体积为”，则其内切球半径，=3北 证明如下：设三棱锥的四个面积分别为：S,S,S,S。, 由于内切球到各面的距离等于内切球的半径 x?内切球半径，=3沙 1 S3×r+5S4×r= 3 故答案为： 3 S 练3-1.★★★★☆ 在矩形ABCD中，AB=4,BC=3沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B,并且D点在平面ABC 内的射影落在AB上，若在四面体D-ABC内有一球，当球的体积最大时，球的半径是 第3页共10页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 答案： 4W7-7 6 解析：当球的体积最大时，球与三棱锥D-ABC的各面相切，设球的半径为R, Vo-uc-Vo-uc +Vo-oc+V+V-R(Sc+Smc++S) 由题设易知AD⊥平面DBC,又，BDc平面DBC,∴.AD⊥BD,∴，△ABD为直角三角形， :AB=4,AD=3BD=V4B2+AD=V万，SAD 24D-BD-x3x 2 3W7 在△DAB和△DBC中，AD=BC,AB=DC,DB=DB,·△DAB=△BCD,故S△Dsc= 21 1.mee X2=2,5ac=Sac=6, 66,当当于g=5,湘两R 2 6 练32.★★★☆☆ 一个正方体的内切球Q、外接球O