第08讲 空间中的数量关系-2022-2023学年高一数学重点知识梳理与典例精讲（人教A版2019必修第二册）

令学利科购 学科网原针，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第08讲空间中的数量关系 知识点 高考要求 空间角 掌握 立体几何中的距离问题 掌握 一、空间角 1.异面直线所成的角 (I)定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线d∥a,b'∥b,把a与b'所成的锐角或 直角叫做异面直线与所成的夹角，异面直线所成角的范围是(0°，90. (②)求异面直线所成角的三个步骤： ①作：通过作平行线得到相交直线： ②证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）： ③求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是 钝角，则它的补角才是要求的角 2.直线和平面所成的角 一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的 交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线O,过垂足O和斜足A的直线OA叫做斜线 在这个平面上的射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影之间的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角.另外，一条直 线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则说它们所成的角是0°的 角：所以平面与一条直线的夹角取值范围为0°，90] 3.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面.棱为AB,面分别为a、B的二面角记作a-AB-B,二面角的范围是[0°，180： 第1页共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学计问原创，让学习更答易！ mxx cOM学科网精品频道全力推荐 在二面角α-l-β的棱1上任取一点O，以点O为垂足，在半平面内分别作垂直于1的射线OA和OB，则 射线OA和OB组成的∠AOB叫做二面角的平面角。二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度．平 面角是直角的二面角叫做直二面角。 β─β― 二面角α-AB-β也记作：二面角αI-β的平面角∠AOB P-AB-Q，α--β，(其中OA、OB都垂直于二面角的棱I） 例1.★★☆☆☆ 如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90^∘且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等 于______． 答案：\sqrt{2} 解析：将此多面体补成正方体DBCA-D'B'C'P，PB与AC所成的角的大小 即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小，在RtΔPBD中，即am∠PBD==\sqrt{2}．故填\sqrt{2} C D∘B 第2页共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 练1-1.★☆☆☆☆ 如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA=√2，则异面直线AB与BD 的夹角大小等于 答案：60° 解析：由直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面是边长为1的正方形，侧棱长A4,=√2可得BD=2, 由BA8知乙4BD杭是异面直线48与B0的夹角、且cas∠4D一品号所以乙480，=60心， 即异面直线AB与BD的夹角大小等于60°. 练1-2.★★★☆☆ 在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=AC=BC,则两直线PC与AB所成角的大小 是 答案：60 解析：如图所示，取PA中点E,PB中点F,BC中点G,连接EF,EG,FG, :EF,FG分别是△PAB,△PBC的中位线，·EF∥AB,FG∥PC, 因此LEFG(或其补角)就是异面直线AB与PC所成的角. 连接AG,设PA=AC=BC=2,则AG=√AC2+CG2=√5，EG=VEA+AG=√6， 又：AB=PC=22:EF=FG=2,由此可得，在AEPG中，cos∠EFG=EF+FG-EG. 2EF·FG 2 结合LEFG是三角形内角，可得∠EFG=I20°， 综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°， 第3页共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 卫学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 例2.★★★☆女 如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，求面对角线AB与对角面BB,D,D所成的角. D D 答案：30° 解析：连接ACG交BD于O,连接OB :B,D,⊥AC,·AC⊥BB,AC1⊥平面BB,DD ·∠ABO为AB与对角面BBD,D所成的角 设正方体棱长为1，则40= 2 ，AB=√2 sin∠4B0=40_1 B02'∠A,B0=300 即AB与对角面BBD,D所成的角为30°. 练2-1.★★★☆☆ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,