第二章5 强化提升专项9 二次函数与几何图形综合-相似三角形问题-【一本】2022-2023学年九年级下册数学同步训练（北师大版）

044: 强化提升专项⑨二次函数与儿何图形综合一相似三角形问题 1.(2020·日照中考节选)如图，函数y=一x2十hx十c (2)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶 的图象经过A(m,0),B(0,n)两点，m,n分别是方 点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的 程x2一2x一3=0的两个实数根，且m<. 值：若不存在，请说明理由. (1)求m,n的值以及函数的表达式： (2)设抛物线y=一x2+bx十c与x轴的另一个交 点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,BC,BD, CD.求证：△BCD∽△OBA. 培优训练 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=一22+加 十c经过点A(1,3),B(0,1),过点A作x轴的平行 线交抛物线于另一点C (1)求抛物线的函数表达式及其顶点坐标： (2)连接AB,在y轴上取一点P,使△ABP和 △ABC相似，请求出符合要求的点P的坐标. 2.如图，抛物线y=ax十hx十2与x轴交于A,B两 点，且OA=2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物 线的对称轴为直线工=号，D为第一象限内抛物线 上一动点，过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于 点F,设点D的横坐标为m, (1)求抛物线的函数表达式.设点P的横坐标为m(一1≤m≤2)，剩P,E的坐标分别为P(m, 一m一1)，Em,m一2m一3)。 A(-10),0,3)代入y=-2++,得2 点P在点E的上方，∴.PE=(-m-1)-(m-2m一3)=-m干 m+2=-(m-）广+是 解释化仁红品旅未选大角十2十 (2)证明：令y=-x+2x+3=0,即x-2x-3=0, ”-1<0当m时，PE取得最大值号，此时P(受一号)月 解得n=一1.m=3, (3)存在，如图，设抛物线与y轴的交点为K,由题意，得K(0,一3). 抛物线y=一十2x+3与x抽的文点为A(一1.0)，C(3,0) 01=1,0C=3, C(2,一3)，.CK∥x抽.CK=2. 当AC是平行四边形ACF,D的边时，AD=CK,可得D(一3,0)， 六时特轴为-生3-1，预在D1, 当AC是平行四边形AFCD的对角线时，AD=CK,可得D(1 ∴，BC=/3+3=32,BD=√/T+1=√2，CD=√/2+A=25. 0). 当点F在x轴的上方时，令y=3,得3=x-2r-3 CD=BD)+BC,∴.△BCD是直角三商形，且∠DBC=90°， .∠AOB=∠DBC, 解得x=1士7，.F(1一7,3)，F(1十7,3)， 由平移的性质可知D(4一7,0)，D(4+√7,0). 在△BR△Dc中，品方一号，慢品-号 综上所述，满是条件的点D的坐标为（一3,0）或(1,0)或(4一7,0) 或(4+√7,0). ÷品-费.△D△OBA 2解：(1)设OB=t.则OA=21. 则点A,B的坐标分别为(24,0)，（一4.0）， 则宁-合(2-，解得=1. 故点A,B的坐标分别为(2,0)，（一1,0）， 则抛折线的画数表达式为y=a(x-2)(r十1)=a.x十bx十2， 解得a=一1， 故抛物线的函数表达式为y■一x十x十2 ) (2)存在。 2.解：1)，0A=2,C=6,.A(-2,0),C(0,-6). 由(1)知点C(0,2). 抛物我y=+hr十过点A,C, 点D(m,一m十m十2)(m>0),则OE=m,DE=一m+m十2. 以点).D,E为顶点的三角形与△以C相似， 1c=-6. 抛物线的西数表达式为y=一r一6. --k-2 (2)存在点N,使得以点A,C,M,N为顶点的四边形是菱形. 南"mt2之我m法m2=2 用 A(-2,0),C(0,-6),∴.AC=01+0C=/2+6=210. ①若AC为菱形的边长，如图1所示， 解择m=1或m=一2（会去）减m=1中压或m=1上区（会去》. 则MN∥AC,且MN=AN=MC=AC=2√I0, .N1(-2,210),N(-2,-210),N(2,0). 经检脸，m1或m=1士区特合题意， ②若AC为菱形的对角线，如图2所示， 故m=1或m=中愿是方程的解， 则AN∥CM,AN=CN.设N,(一2，n) 4 -=一2-0+m十6可，解得n=号N(-2.碧）) 3解：1)将A1,3,B0,1)代入y=-之+6十 综上所追，点N的坐标为（一2,2/0）友(-2，一2√/10)或(2,0) 5 得 2 +十c=3·解 x(-2一) c=1, 1c=1, ,抛物线的函数表达式为y= 2+号+1 1 六顶点坐标为（停，受） (2)是长CA交y轴于点D(图略). 由题意知，点C的坐标为(4,3)，AD=1,BD=2,CD=4. “品部之∠CDB为公光角： △ABD∽△BCD..∠ABD=∠BCD 当∠PAB=∠AC时