第二章5 强化提升专项7 二次函数与几何图形综合--三角形的存在性问题-【一本】2022-2023学年九年级下册数学同步训练（北师大版）

042∶ 强化提升专项7二次函数与几何图形综合——三角形的存在性问题 类型1等腰三角形的存在性问题类型3等腰直角三角形的存在性问题 1.如图，二次函数y=x^2+2x-3的图象与x轴交于3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—x^2-2x+ A，B两点，与y轴交于点C.在y轴上是否存在点与x轴交于A(-3.0)，B(1，0)两点与y轴交于 M。使△BCM是等腰三角形?若存在，请求出点M__________的点在抛物线上 的坐标；若不存在，请说明理由。是否有住点F使得乙AFP为等腰直角三角形?看 ：[l存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 类型2直角三角形的存在性问题 2.如图，顶点为M的抛物线y=-x^z+2x+3与x轴 交于A，B两点，在y轴上是否存在一点P，使得 △PAM为直角三角形?若存在，求出点P的坐标； 若不存在。请说明理由．2.解：由题意，得C(0,一4)，B4,0),A(1,0), 由勾股定理，得AM=(3-1)+42=20,AP=3+p=9+p, ·直线BC的函数表达式为y=一4， MP-1+(4-p)2-17-8p+p. Snm=号Sm=3 ①若∠PAM=90,则AM+AP=MP 过点P作PQ∥y轴，交C于点Q(图略). ∴20+9+p=17-8p+p,解得p=一是.∴P(0.-号)月 设点P(x.-x+5x-4).Qx.x一4) ②若∠APM=90,则AP+MP=AM..9十p+17-8P+p= .PQ=-2十5r-4-(x-4)=-x2+4x 20,解得p=1,p=3.P(0.1)或(0,3). ∴Sm-70B:P0-合×4X(-+)-3 ③若∠AMP=90,则AM+MP=AP,∴.20+17-8p+p=9+ 解得n=十西 m=4上，而 ,解得p=子.P(0,子) 2 2 ∴点P的坐标为（仕严，）x(仁严，四) 综上所述，当点P的坐标为(0，-三)或(0,1)或(0,3)或 2 (0,子)时，△PAM为直角三商形， 3.解：令y=0,得之/十一4=0，解得n=2,n=-4 3.解：存在.设直线AC的函数表达式为y=kx十 ∴A(2,0),B(-40.令x=0,得y=-4,C(0,-4,连接OP(图 将C(0,3),A(一3,0)代入. 略.设点P(,+一(）其中-4长r<0回边形ABPC的 丹作。解特 面积S=Sm+5m+5m=号×2X4+子X(-)X4+7× ,∴直线AC的西数表达式为y=T十3. 假设，点P存在，设点下(m,m十3)，△AFP为等腰直角三角形有以下 4×(-号-x+4）=--4+12=-(x+2)2+16. 三种情况（如图所示）. :一1<0，∴.当r=一2时，四边形ABPC的面积最大，此时点P的 ①当∠PAF=90时，'OA=(0C,∠AC=90°， 坐标为（一2，一4） .∠0AC=45..∠PAB=45. 4.解：(1)直线：y=一3x十3与x轴、y轴分别相交于A.B两，点，则点 又AP=AF, A,B的坐标分别为(1,0).(0,3).抛物线y=az一2ax+a十4 ,P,F两点关于x轴对称， (a<0)经过点B(0,3),则a十4=3，解得a口一1，故抛物线的品数表 ,P(m,一m-3. 达式为y=-+2r+3. ,点P在抛物线y=一x”一2r十3上 《2)如图，过点M作MHLr袖于点H. ∴.一m一3=一m2-2m十3.解得m1=一3（含去），m=2. 此时点P的坐标为(2，一5)， ②当∠AFP=90时，'FA=FP A,P两点关于x=m对称，.P(2m十3,0) ,点P在抛物线y=一x一2x十3上 .0=一(2m十3)2-2(2m十3)十3，解得m1=一3（会去），m1=一1. 此时志P的坐标为(1,0) ③当∠APF=90°时，AP=FP,且点P在x抽上 设点M(m,一m+2n+3),剥S=S#wnew-S6n8一S2= .P(m,0) 合(-m+2m+3+3)·m-3×1+0m-D(-m+2m+3] 点P在抛物线y=一x-2r十3上，∴0=-m-2m+3,解得m =一3（含去），：一1，此时点P的坐标为(1,0). 棕上所述，在粗物线上存在点P,使得△AFP为等腰直商三角形，点 P的坐标为(2，一5)发(1,0). ”-之<0“S有最大值，当m=号时，5取得最大值，为要 强化提升专项7二次函数与儿何图形综合 一三角形的存在性问题 1.解：存在，设点M的坐标为(0，m) 令y=0,得x2+2r-3=0,解得=-3，n=1,故B1,0): 令x=0,得y=一3，故C(0,一3). 当BM=BC时，12十m=12十3，解得m1=一3（含去），m:=3,此时 点M的坐标为(0,3)： 当CM=CB时，[m-(-3)]=1+3,解得m=-3+√/0，m:= 一3-