第9章 中心对称图形——平面几何之折叠【一】（解答压轴题） 2022—2023学年苏科版数学八年级下册

平面几何之折叠【一】（解答压轴题） 1.综合与实践： 我们已经学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学一长方形纸条 的折叠与平行线。 (I)知识初探如图1，长条ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 将长形纸条沿直线EF折叠，点A落在A处，点D落在D处，AE交CD于点G. D G D C B 图1 ①若LAEF=40°，求∠AGC的度数 ②若∠AEF=a,则∠A'GC= (用含a的式子表示)， (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将LCGE对折，点C落在直线GE上的C处，点B落在B处， 得到折痕GH,则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由， D B 图2 1 2.如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E-B-C匀速运动， 速度为每秒1个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ=5,设 △PAQ的面积为y,点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示 Q A D E B 2 11t/s 图① 图② (1)图①中AB= BC= 图②中m= (2)点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折径后顶点A的对 应点A落在矩形的BC边上？ 3 3.(1)如图1，四边形ABCD,，点E,F,G,H分别为四边的中点，顺次连接E,F, G,H,则四边形EFGH的形状是 (2)将图1中四边形ABCD沿BD折叠，其它条件不变，得到图2，(1)中的结论是否 成立？请说明理由： (3)将图1中四边形ABCD沿AC折叠，其它条件不变，得到图3，(1)中的结论是否 依然成立？请说明理由 A E E B F 图1 图2 图3 4.如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折 叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E,连接CE, A C D B F E (1)请确定四边形CDC'E的形状，并说明理由： (2)若LBCD=30°，CE=2,过点C作C'F⊥BC于F,连接CC'交DE于点M,连接 FM: ①四边形CDC'E的面积为一： ②FM=— 3 5.综合与实践 在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动 图1 图2 (1)操作测量 操作一：对折长方形纸片ABCD,使较长的一组对边AD与BC重合，得到折痕EF,把 纸片展平： 操作二：在AD上选一点P,沿BP将三角形ABP折叠，点A在平面内的对应点为点M, 把纸片展平。 如图1，当点M在折痕EF上时，连接PM,BM,测量∠ABP,∠CBM的度数，得 ∠ABP= 度，∠CBM= 度 (2)迁移探究 在操作二中，若使点M限制在长方形纸片内，设∠ABP=a,∠CBM=阝，请判断a, B的数量关系？并说明理由. (3)拓展应用 在(2)的探究中，若点M的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当 ∠CBM=18°时，直接写出∠ABP的度数. 6.定义：长宽之比为黄金分割数（5-=0.618）的矩形是黄金矩形． 观察下列图形的折叠过程： 第一步，如图（1)，在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平， M______ 第二步，如图（2)，把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平， M_——__ 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处 第四步，如图（4)，展平纸片，折出四边形BCDE． M……B、E__—_ 请解答下列问题： (1)若设MN=2a，则AB=， (2)求证：C==， (3)求证：四边形BCDE是黄金矩形． 5 7.如图，矩形ABCD的边AB=6,AD=9,点E,F分别是边AB,AD上的动点.把 △AEF沿直线EF折叠，在同一平面上得到△GEF,点G为点A的对应点. F G (I)当点F与点D重合时，求BG的最小值： (2)当点G落在边BC上且距离B点BC处时，求BE长. 8.实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线AE折叠，使 点B落在正方形ABCD的内部点M,再将纸片沿过点A的直线AF折叠，使AD与AM 重合，此时∠EAF=度. 操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.当点E在BC边 某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，此时∠AEF=度. 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： D B B----- --C E E 图① 图② (1)设AM与NF的交点为点P.求证：△ANP≌△FNE: (2)若AB=2,则线段AP的长 6 9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交 AD于点F, E E D B C (I)求证：△BAF≌△DEF: (2)如图，过点D作DG BE,交BC于点G,连接FG交BD于