第9章 整式的乘法与因式分解 （解答压轴题二） 2022—2023学年苏科版数学七年级下册

整式乘法与因式分解（解答压轴题二） 1.学习了乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式x2+4x+3因式分解：②求多项式x2+4x+3的最小值. ①x2+4x+3 ②由①知： =x2+4x+4-1 x2+4x+3=(x+22-1 =(x+2)2-1 因为x+2≥0 =(x+2+1(x+2-1 所以x+2°-1≥-1 =(x+3(x+1 所以当x=-2时，x2+4x+3的值最小，最小值为1。 请你运用上述的方法解决下列问题： (1)将多项式x2+6x-16因式分解. (2)求多项式-x2+6x-16的最大值. 2.阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行 因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进 行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题. 例如：x2+2x+3=x2+2x++2=(x+1)2+2, :(x+1)2≥0， (x+1)2+222. 则这个代数式x'+2x+3的最小值是，这时相应的x的值是 【尝试应用】 (2)求代数式-x+14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值. (3)已知a,b,c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41,且c是△ABC中最长 的边，求c的取值范围. 1 3.【任务一】下面是慧慧同学的数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆 盖部分补充完整。 10月20日星期四晴 我发现：借助拼图可以解决整式乘法及因式分解的相关问题。 如图，我有A,B,C三种类型的卡片各若干张， 已知A,C是边长分别为a,b的正方形卡片， B是长为a,宽为b的长方形卡片. 我利用A,B,C三种类型的卡片拼成如图所示的长方形， 该长方形的面积可以用多项式表示为 还可以用整式乘积的形式表示为 利用上述面积的不同表达方式可以得到等式 我利用A,B,C三种类型的卡片拼成如图所示的大长方形. 从而可以将2a2+5b+2b进行因式分解为 A B B B A A B C C B B A B B 图1 图2 图3 【任务二】善于思考的慧慧同学又编了以下两个问题，请你任选一题进行解答. 问题1：先计算(a+2b)(2a-b),再用图形的面积解释它的正确性. 问趣2：请写出一个代数恒等式，然后用图形的面积解释它的正确性. 2 4.[阅读材料] 因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x+y“看成整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=(A+1)。 再将“A”还原，原式=(x+y+12 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法， [问题解决] (1)因式分解：1+4x-y+4x-y2: (2)因式分解：x2-6xx2-6x+18+81: (3)证明：若n为正整数，则代数式(n+)(n+2)(n2+3n+1的值一定是某个整数的平方. 5.为庆祝泉州一中80周年校庆，两校区初一数学兴趣小组的同学们一起研究了以下一 个有趣的数学问题：如果一个两位正整数m的个位数为8，那么就称为“一中数”. (1)求证：对任意“一中数“m,m2-64一定为20的倍数： (②)若m=p-9,且P、G为正整数，则称数对(p9为一中数对，并规定：Hm=9 例知68=18-16，称数对18,16为一中数对，则Hc=18-。求小于50的一中 数”中，所有“一中数对”的H的最大值 3 6.有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片. 图1 图2 图3 (1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴 影部分的面积（用含m,的式子表示）. ①方法1： ；方法2： ②请写出(m+n)2,（m-n)2,4mn三个代数式之间的等量关系： (2)若a+b-6+ab-4=0,求(a-b)2的值. (3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无 缝隙不重叠)，请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2= 7.如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方 形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图） aaaa b 图1 图2 ()自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关 系是一 (2)知识运用：运用你所得到的公式，计算：若2x-3y=5,xy=1,则 (2x+3y= (3)知识延伸：已知(x-20212+x-20232=10,求x-2022的值. (4)知识拓展：用完全平方公式和非负数的性质解决下列问题：若-x2+6x+y-25=0, 求代数式：y+2x-8z+z2的最