第9章 整式乘法与因式分解 类型十六、因式分解的新定义 讲义 2022—2023学年苏科版数学七年级下册

类型十六、因式分解的新定义 【解惑】 同类型三。 【融会贯通】 1．若一个正整数是两个连续奇数或连续偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“半平分数”，为的“半平分点”．例如，，则35是“半平分数”，5为35的半平分点． (1)是80的“半平分点”，则______；的“半平分数”“半平分点”为1，则______；当为正整数时，整数______． (2)把“半平分数”与“半平分数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“半平分数”的“半平分数”为，“半平分数”的“半平分点”为，当时，求的值． 2．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”． (1)求证：对任意“好数”，一定为20的倍数． (2)若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值． 3．材料一：一个三位数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位上的数字的平方等于百位数字与个位数字之积的k倍（k为整数），则称M为“k阶比例中项数”； 材料二：一个三位数，它的百位数字和十位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，规定； 例如：244，因为，其中，2是整数，所以244是“2阶比例中项数”，； 又如：321，因为，但不是整数，所以321不是一个“阶比例中项数”，． (1)363是“___________阶比例中项数”；最大的“3阶比例中项数”为___________； (2)若（其中，，，均为正整数，且为偶数）是一个“阶比例中项数”，且被7除余1，求出所有满足条件的N． 4．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“幸福数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为．例如，456是“幸福数”，不断将456的百位数字调到个位可得564，645，． (1)求，． (2)已知，（，，为整数），若、均为“幸福数”，且可被6整除，求的值． 5．一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的右边将所构成的新数叫做M的“叠加数”． 例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“叠加数”为4715； 　　　M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26没有“叠加数”． (1)请判断3420和5846是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由； (2)两位数M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均为整数）有“叠加数”，且12a－M－N能被13整除，求所有满足条件的两位数M的“叠加数”． 6．对于一个四位自然数M．如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1．个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“进步数”．对于一个“进步数”，它的千位数字和百位数字组成的两位数为．十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：． 例如：，因为，，故数M是一个“进步数”．，则． (1)请判断2367，1257是不是“进步数”，说明理由．若是，请求出的值； (2)若四位数N为“进步数”，N的千位数字为，个位数字为．当与N各数位上的数字之和能被13整除时，求出所有满足条件的“进步数”N的值． 7．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”． (1)判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由． (2)把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值． 8．先阅读下列材料，然后解答后面的问题：材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数” (1)直接写出：最小的“欢喜数”是 ，最大的“欢喜数”是 ； (2)求证：任意“欢喜数 ”一定能被11整除； (3)若“欢喜数 ”m为奇数，且十位数字比个位数字大5， 求所有符合条件的“欢喜数 ”m． 【知不足】 9．如果一个正整数的各位数字是左右对称的，那么称这个正整数是“对