11.2 正弦定理（六大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

令学科网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 11.2正弦定理 【题型归纳目录】 题型一：己知两角及任意一边解三角形 题型二：己知两边及其中一边的对角解三角形 题型三：三角形形状的判断 题型四：三角形面积公式及其应用 题型五：判断三角形解的个数 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 【知识点梳理】 知识点一、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：口 b sinA sin B sinC 知识点诠释： (1)正弦定理适合于任何三角形： (2)可以证明a=b。c sin4 sin Bsinc=2R(R为△ABC的外接圆半径)： (3)每个等式可视为一个方程：知三求一。 (4)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角： ②己知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边， 知识点二、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角： (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角： 知识点三：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： (1)直角三角形 勾股定理：a2+b2=c2, 互余关系：A+B=90°，cosC=0,sinC=1; (2)等腰三角形 a=b,A=B: 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号） 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科阿 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1)在AMBc中，0°<A<90°台cos4=b+c-d>0台2+e>a: 2be (2)在△1BC中，A=90°台cos4=+c2-a =0-b2+c2=a2: 2be (3)在△48C中，90°<A台c0sA=-+c2- -<0÷b2+c2<a2: 2bc 知识点四、三角形面积公式 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则△ABC的面积 S.sc=absin C=bcsin A=casin B. 知识点五、仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角。目标视线在水平视线上方时叫仰角，目 标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. 目标规线 仰角 铅垂线 水平视线 俯角 目标视线 【典型例题】 题型一：己知两角及任意一边解三角形 【方法技巧与总结】 (1)正弦定理实际上是三个等式：a C a ，每个等式涉及四个 sin A sin B'sin B sin C'sin A sin C 元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个 (2)因为三角形的内角和为180°，所以己知两角一定可以求出第三个角. 例1.(2023云南高二阶段练习)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,设△ABC的面积为S ,已知(b2-c2sinB=2S (1)若a=2,b=√5，求c的长： (2)若C= 石，求角B的大小 【解折】(1)因为S=acsin B,所以(b2-c2sinB=2S=acsinB, 2 又Be(0,π)，sinB>0,所以b2-c2=ac, 又a=2,b=√5，所以3-c2=2c,即c2+2c-3=0,整理得c+3(c-1=0, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 因为c>0,所以c=1. (2)由(1)知b2-c2=ac,所以ac+c2=a2+c2-2 ac cos B,整理得ac=a2-2 ac cos B, 因为a>0,所以c=a-2 c cos B,由正弦定理得sinC=sinA-2 sinCcosB, 因为sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC,所以sinC=sin BcosC-cos B sinC=sinB-C), 因为B,Ce(0,π)，所以C=B-C,即B=2C, 因为C= 6 所以B=严 3 例2.(2023浙江杭州高二期中)在aABC中，已知∠B=45,∠C=30,AC=2,则AB等于(） A.1 B.√2 C.5 D.√6 【答案】B 【解析】由正弦定理， sincsi即B。 AB AC 2 sin30sim45,解得AB=2 故选：B. 例3.(2023江西赣州高三期中（文）)在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 0、水A=远，B=3,0《3 A.25 B.2W5 C.2v6 D.6 【答案】C 【解析】因为a=4,A=交，B=2 4 由正弦定理，得5=asmB=26. sin A 故选：C 变式1.(2023广东佛山市顺德区华侨中学高三阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,(a+b)