11.3 余弦定理、正弦定理的应用（六大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

学科网 学科冈原到，让李司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 11.3余弦定理、正弦定理的应用 【题型归纳目录】 题型一：距离问题 题型二：高度问趣 题型三：角度问题 题型四：物理问题 题型五：三角形边长、面积、周长最值与范围问趣 题型六：三角形中的图形类问题 【知识点梳理】 知识点一、测量中的常用角 名称 定义 示例 北 从指北方向线顺时针转到 2250 方位角 目标方向线的角 点A的方位角为225 ↑北 正北或正南方向线与月标 方向角 东 方向线所成的锐角 A/南 点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向） 知识点二、常见问题的测量方案 1、距离问题 类型 简图 测量 先选定适当的位置C,用测角器测出角a,再 分别测出AC,BC的长b,4,则可求出A, 两点A,B均可达 B两点间的距离，即 AB=√a'+b2-2 abcosa 在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC 两点A,B可视，但 的距离m,再借助仪器，测出∠ACB=a, 有一点不可达 ∠CAB=B,那么在△4BC中，已知两角及 边，运用正弦定理就可以求出AB 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 测量者可以在河岸选定两点C,D,测得 CD=a,同时在C,D两点分别测得 两点A,B可视，均 LBCA=a,∠ACD=B,∠CDB=Y, 不可达 ∠BDA=6,在aADC和aBDC中，由正弦定 理计算出AC和BC后，再在aABC中，应用 余弦定理计算出A,B两点间的距离 2、高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得BC=a,LBCA=a,AB=aana 测得CD=a及C与LADB的度数 点B与C,D 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得 底部 共线 AB的值， 不可 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 达 点B与C,D 在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形 不共线 得AB的值 【典型例题】 题型一：距离问题 【方法技巧与总结】 求两个不可到达的点之间的距离问题，一殷是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 ()认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形 (②)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解。 例1.(2023江苏徐州高三期中)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距√6+√2海里的B处有一艘走 私船，正沿东偏南45的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2、2海里/小时的速度沿着 正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变 航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以32海里/小时的速度沿着直线追击 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科问原创，让学习更容易！ p。zxx cOM学科网精品频道全力推荐 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【解析】(1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在℃处，此时 BD=3×1=3，AC=2\sqrt{2}×1=2\sqrt{2}， 由题意知∠BAC=90^∘-30°=60∘ 在ΔABC中，AB=\sqrt{6}+\sqrt{2}，AC=2\sqrt{2} 由余弦定理得BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AC-cos∠BAC =(\sqrt{6}+\sqrt{2})+(2\sqrt{2})-2(\sqrt{6}+\sqrt{2})-2\sqrt{2}×_5=12 所以BC=2\sqrt{5} AC_-_BC-，即—2√2-_2\sqrt{3} 在aABC中，由正弦定理得面∠ABC-sm∠BACin∠ABC-sim60^∘ 所以sin∠ABC=2^∴∠ABC=45，135舍去） 所在∠ACB=180^∘-60^∘-45=75 又∠CBD=180^∘-45′-45-60=30° 在△BCD中，∠CBD=30，BD=3，BC=2\sqrt{5} 由余弦定理得CD^2=BC^2+BD^2-2BC·BD·cos30^∘ -(2\sqrt{3})^2+3^2-2x2\sqrt{3}×3·cs30=3 ∴CD=\sqrt{3}， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距\sqrt{5}海里 （2）当巡逻艇经过t小时经CE方向在E处追上走私船， 则CE=3\sqrt{2}t，DE=3t，CD=3 CD-___BD-____BC 在△BCD中，由正弦定理得：sin∠CBD-sin∠BCD-sin∠BDC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 学科阿 李科网原到，让学