考点11 解三角形的实际应用4种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点11 解三角形的实际应用4种常见考法归类 策略1 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 策略2 常见距离问题求法 类型 图形 方法 具体 两点间不可通又不可视 余弦定理 可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝. 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 策略3 常见高度问题求法 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．　　　 策略4 测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．　　 策略5 运用正、余弦定理解决实际问题的基本步骤 (1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解． 策略6 解三角形在实际应用问题中的易错剖析 （1）概念理解不清导致错误 ①根据题意画出图形很关键; ②在解三角形的实际问题中，经常出现一些有关的术语，如仰角、俯角、方向角、方位角等，求解时需要搞清它们的含义，否则就会出现错误。 （2）忽视题目的隐含条件导致错误 在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. （3）忽视实际问题的单位导致错误 ①注意"山或塔垂直于地面或海平面"这种隐含条件,计算时可以把空间问题转化为平面问题。②特别注意实际问题的单位,如注意速度的单位是千米/时，还是是米/时。 考点一 距离问题 1．（2023·河北·高一学业考试）如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为______米． 2．（2023·河北·高一学业考试）如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·高一课时练习）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离． 4．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期中）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船的航行速度为__________.（结果精确到整数，参考数据：） 5．（2023·河北·高一学业考试）如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（