2023年中考数学一轮复习：二次函数与三角形综合

2023中考数学一轮复习：二次函数与三角形综合 一、选择题 如图，点 是抛物线 上位于第二象限的一动点， 交抛物线于点 ．当点 在抛物线上运动的过程中（点 不与坐标原点 重合），以下结论：① 为定值；② ；③ 的面积为定值；④直线 必过一定点．其中正确的结论有 A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线 与 轴交于点 ，（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，若 为等腰三角形，试求出满足条件的 值”．学生求出 值的答案有① ；② ；③ ；④ ．则本题满足条件的 的值为 A．①②④ B．①③④ C．② D．①②③④ 如图，已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，取与线段 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 ， 两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 在直线 上方的抛物线上移动，动点 将与 ， 构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，最大面积为 A． B． C． D． 如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ，，若 平分 ，则 的值为 A． B． C． D． 二、填空题 如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 是 轴上的一个动点，当 的周长最小时， ． 抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，则的面积为 ． 如图，在 中，，，，点 在边 上，从点 向点 移动，点 在边 上，从点 向点 移动，若点 ， 均以 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 ，则线段 的最小值是 ． 记抛物线 ： 的顶点为 ，抛物线 ： 顶点是点 ，且与 轴的正半轴交于点 ．当 是直角三角形时，抛物线 的解析式为 ． 已知函数 的图象顶点为 ，与 轴的交点为 ，，若 是等边三角形，则此函数的解析式是 ． 已知抛物线 的顶点 在 轴上，其图象与 轴交于 ， 两点，如果 是正三角形，那么 ． 如图，点 是抛物线 对称轴上的一点，连接 ，以 为旋转中心将 逆时针旋转 得到 ，当 恰好落在抛物线上时，点 的坐标为 ． 如图，二次函数 的图象与 轴交于两点 ，，它的对称轴与 轴交于点 ．过顶点 作 轴，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，则 与 的面积的比为 ． 已知抛物线 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 的距离与到 轴的距离始终相等，如图，点 的坐标为 ， 是抛物线 上一个动点，则 周长的最小值是 ． 三、解答题 如图，抛物线过点 和 ，顶点为 ，直线 与抛物线的对称轴 的交点为 ，平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，点 的横坐标为 ，四边形 为平行四边形． (1) 求点 的坐标及抛物线的解析式； (2) 若点 为抛物线上的动点，且在直线 上方，当 面积最大时，求点 的坐标及 面积的最大值； (3) 在抛物线的对称轴上取一点 ，同时在抛物线上取一点 ，使以 为一边且以 ，，， 为顶点的四边形为平行四边形，求点 和点 的坐标． 如图甲，直线 与 轴、 轴分别交于点 、点 ，经过 ， 两点的抛物线 与 轴的另一个交点为 ，顶点为 ． (1) 求该抛物线的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使以 ，， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 当 时，在抛物线上求一点 ，使 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 如图，在矩形 中，，， 是线段 上一点（ 不与 重合）． 是 上一点，且 ，若设 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式． 如图①，直线 与抛物线 交于不同的两点 ，（点 在点 的左侧）． (1) 直接写出 的坐标 （用 的代数式表示）； (2) 设抛物线的顶点为 ，对称轴 与直线 的交点为 ，连接 ，，若 求抛物线的解析式； (3) 如图②，在（）的条件下，设该抛物线与 轴交于 ， 两点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接 ，，设直线 交线段 于点 ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值． 二次函数图象的顶点在原点 ，经过点 ；点 在 轴上．直线 与 轴交于点 ． (1) 求二次函数的解析式； (2) 点 是（）中图象上的点，过点 作 轴的垂线与直线 交于点 ，求证： 平分 ； (3) 当 是等边三角形时，求 点的坐标． 如图，在直角坐标系