第二十七章相似几何证明压轴题专练一 2022—2023学年人教版数学九年级下册

人教版数学九年级下册 第二十七章相似几何证明压轴题专练一 1. 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． 如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； 在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数； 如图，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长． 2. 和都是等腰直角三角形，点是的中点，连接，． 如图，当点，分别在线段，上时，求的度数 如图，当点在线段上时，求证： 如图，当点，，共线且点是的中点时，猜想和之间的数量关系，并说明理由． 3. 矩形中，，，是射线上一点，点关于的对称点恰好落在射线上． 如图，当点在边上时，若，的长为______；若时，求的长； 作的平分线交射线于点，当时，求的长． 4. 如图，在中，，，，分别是边，上的点，，过点作，垂足为，交于点 如图，求证：∽； 如图，若点恰好与顶点重合，求证：； 如图，若，直接写出的值． 5. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． 如图，当点在线段上、且时，求证：≌； 如图，当点在线段的延长线上时，求证：∽；并求当，时，、两点间的距离用含的代数式表示． 6. 如图，已知点在正方形的对角线上，，垂足为点，，垂足为． 求证：四边形是正方形，并直接写出的值． 将正方形绕点顺时针方向旋转，如图所示，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 正方形在旋转过程中，当，，，三点在一条直线上时，如图所示，延长交于点若，，求的长． 7. 【性质探究】 如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分，交于点作于点，分别交，于点，． 判断的形状并说明理由． 求证：． 【迁移应用】 记的面积为，的面积为，当时，求的值． 8. 在中与中，，，，将绕点顺时针旋转，连接，，点，分别是，的中点，连接，． 观察猜想：如图，当点与点重合时，与的数量关系是__，位置关系是__； 类比探究：当点与点不重合时，中的结论是否成立？如果成立，请仅就图的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． 9. 如图，是等边三角形，，分别是，边上的点，且，连接，相交于点． 的度数是______； 如果，那么______； 如果时，请用含的式子表示，的数量关系，并证明． 10. 在中，于点，点为射线上任意一点点除外，连接，将线段绕点顺时针方向旋转，，得到，连接． 【观察发现】如图，当，且时，与的数量关系是_____，与的位置关系是_____． 【猜想证明】如图，当，且时，中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． 【拓展探究】当，且时，若，，请直接写出的长． 11. 【推理】 如图，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点． 求证：≌． 【运用】 如图，在【推理】条件下，延长交于点若，，求线段的长． 【拓展】 将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连结，延长，交直线于，两点，若，，求的值用含的代数式表示． 12. 如图四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，判断线段与的数量关系并说明理由； 如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、判断线段与又有怎样的数量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，连接，求的最小值． 13. 如图，正三角形，边长为，的中点为，的中点为，动点在上运动包含，两点，为等腰三角形，且，连接， 直接写出______，并求证：∽． 当点与点重合时，连接，求此时的长？ 在动点从点向点运动过程中，点随之运动，直接写出周长的最小值______． 14. 如图，在四边形中，，，，点是边的中点，连接交对角线于点，，连接． 求证：四边形是矩形； 求的面积； 如图，连接交于点，点为上一动点，连接、将沿折叠得到，交于点，当为直角三角形时，求的长． 15. 如图，已知边长为的正方形，是边上一动点与、不重合，连结，是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． 求证：∽； 若，求的面积； 请直接写出为何值时，的面积最大． 16. 问题背景如图，在中，点，分别在，上，，，求证：； 变式迁移  如图，在四边形中，，，，分别交，于点，，求证：； 拓展应用  如图，在四边形中，，，，且，直接写出的值． 第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $