2023年中考数学专项提升训练——分式方程

 

2023年中考数学专项提升训练——分式方程

一、综合题

1．观察下列方程的特征及其解的特点．

① 的解为 ， ；

② 的解为 ， ；

③ 的解为 ， ．

解答下列问题：

（1）请你写出一个符合上述特征的方程为　         　，其解为 ， ． 

（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为　                　，其解为 ， ； 

（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程 （其中n为正整数）的解． 

2．今年春节期间第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉样物“冰墩墩”以其呆萌可爱、英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．

（1）求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；

（2）若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润．

3．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格， 只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．

某校八年级学生由距博物馆 10km 的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20min 后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度 的 2 倍，求骑车同学的速度．

设骑车同学的速度为 xkm / h

（1）根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系，用含有 x 的式子填写下表：

	速度（千米 / 时）	所用时间（时 )	所走的路程（千米）
骑自行车	x		10
乘汽车			10

（2）列出方程，并求出问题的解．  

4．为了增强职工的防疫意识，某单位工会决定组织防疫知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1700元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用800元购买一等奖奖品时，可购买一、二等奖奖品共25件．

（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于3件且不超过9件，则共有哪几种购买方式？

5．某店经营的 款手机去年销售总额为60000元，今年每部销售价比去年降低500元，若卖出的数量相同，则销售总额将比去年减少25%.已知 两款手机的进货和销售价格如下表： 

	款手机	款手机
进货价格（元）	1100	1400
销售价格（元）	今年的销售价格	2000

（1）今年 款手机每部售价多少元？ 

（2）该店计划新进一批 款手机和 款手机共60部，且 款手机的进货数量不超过 款手机数量的3倍，应如何进货才能使这批手机获利最多？ 

6．近期国外新冠疫情形势严峻，某外贸公司低价向国外销售A、B两种型号的医用防护服，已知每套A型医用防护服比B型医用防护服利润低30美元，且销售利润为1000美元的A型医用防护服与销售利润为1300美元的B型医用防护服的数量相同.

（1）求每套A型医用防护服和B型医用防护服的销售利润分别是多少美元？  

（2）该公司现在还有两种型号的防护服500套，其中A型医用防护服m套，这500套医用防护服的销售总利润为w美元，求w关于m的函数关系式.  

7．某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元.

（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？  

（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件.

①求m的取值范围.

②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件.如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式.

8．随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆，

据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆．

（1）该花卉每盆批发价是多少元？

（2）店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？

（3）该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加a元的快递成本，若每盆花卉售价不低于62元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，请直接写出快递成本最多是多少元？

9．已知矩形的一边长为2，另一边长为1.

（1）是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？小明是这样想的：小刚是这样想的：

按照小明思路，完成解答：

根据小刚的思路，直接写出两个交点坐标；

（2）如果存在另一个矩形，周长是已知矩形周长的2倍，面积是已知矩形面积的 倍 ，求 的取值范围.

10．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如： ， ， ，⋯⋯任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如“ = + ”，“ = + ”…… 

（1）根据对上述式子的观察，你会发现． = 　     　+ 　     　·请将问题中的空格补充完整．  

（2）进一步思考，单位分数 （n是不小于2的正整数），请写出■和●所表示的代数式，并对你的结论进行验证．  

（3）请用（2）中你找出的规律解方程

11．周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，要吃亏了”，琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”.（顺风速度 无风时骑车速度 风速，逆风速度 无风时骑车速度 风速） 

（1）如果家到书店的路程是 ，无风时琪琪骑自行车的速度是 ，他逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的 倍，求风速是多少？  

（2）如果设从家到书店的路程为 千米，无风时骑车速度为 千米/时，风速为 千米/时 ，求出有风往返一趟的时间，无风往返一趟的时间，请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.  

12．在2018春季环境整治活动中，某社区计划对面积为 的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为 区域的绿化时，甲队比乙队少用5天． 

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；  

（2）设甲工程队施工 天，乙工程队施工 天，刚好完成绿化任务，求 关于 的函数关系式；  

（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．  

13．海拉尔区某中学在友谊大厦购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元。

（1）求购买一个A品牌、一个B品牌足球各需多少元？

（2）海拉尔区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢友谊大厦对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么这所中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

14．某商店准备购进A, B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20

元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品

每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元?  

（2）商店计划用不超过1560元的资金购进 两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？  

（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠M（ ）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.  

15．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场.某车行经营的 A 型车去年 4 月份销售总额为 3.2 万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加 400 元，若今年 4 月份与去年4 月份卖出的 A 型车数量相同，则今年 4 月份 A 型车销售总额将比去年 4 月份销售总额增加 25%.（A、B 两种型号车 今年的进货和销售价格如下表所示）

（1）求今年 4 月份 A 型车每辆销售价多少元（用列方程进行解答）；  

（2）该车行计划 5 月份新进一批 A 型车和 B 型车共 50 辆，设购进的 A 型车为 x 辆，获得的总利润为 y 元，请写 出 y 与 x 之间的函数关系式；  

（3）在（2）的条件下，若 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最大？最大 利润是多少？  

16．某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：

	甲	乙	丙
数量(个)	m
批发单价(元)

（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．

（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．

当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．

当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．

17．2017年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1 000件帐篷与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．

（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷；

（2）如果这批帐篷有1 490件，用甲、乙两种汽车共16辆装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其余装满，求甲、乙两种货车各有多少辆．

18．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件。若花费 480元购进的A种纪念的数量是花费 480 元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4 元.

 

（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元?

（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过 3000元，最少要购买多少件B种纪念品?