第18章 平行四边形——平行四边形的性质与判定 讲义 2022—2023学年人教版数学八年级下册

平行四边形的性质与判定 知识点一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心； 特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 知识点三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法. （2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 知识点五、平行线间的距离 1.两条平行线间的距离： （1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值. （2）平行线间的距离处处相等 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的. 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图一 3. 平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系： 知识点六 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线平行且等于第三边的一半。 注：三角形的中位线与中线的区别 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 联系:三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 一、单选题 1．□的顶点坐标分别是为，，，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质，画出图形即可解决问题． 【详解】 解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵□的顶点坐标分别是为，，， ∴线段向右平移5个单位，再向上平移2个单位可得到线段，点与点对应，点与点对应， ∴点的坐标为． 故选：C. 【点睛】 本题考查坐标与图形变化—平移，平行四边形的性质和点平移坐标变化的规律等知识． 根据点与点的坐标，得出平移前后点的坐标变化规律是解题的关键． 2．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（－4，－4），（4，－4），则顶点D的坐标是（       ） A．（-8，2） B．（8，-4） C．（4，2） D．（8，2） 【答案】D 【解析】 【分析】 由四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，只要计算出BC的长度，就可由A点坐标推出D点坐标． 【详解】 解：∵B（-4，-4），C（4，-4） ∴BC=4﹣(-4)=4+4=8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=8， ∵点A的坐标为（0，2）， ∴点D的坐标为（8，2）， 故选：D． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（       ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解． 【详解】 解：∵DE⊥AB，BF⊥AC， ∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF， ∴4×6=2××8×BF， ∴BF=3， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．