第三章 圆的基本性质—— 圆周角 、圆心角 学案 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

( 圆周角、圆心角 ) ( 随机事件 和概率 ) 【知识梳理】 1、 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：①顶点在圆上，②两边都和圆相交。这两个条件缺一不可。 2、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的取值范围是0°<<360° 特征识别：①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。 3、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（圆周角与圆心角的关系） 推论1：.圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半； 推论2： 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论3：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. ( B C O A ) ( B C O A ) ( B C O A ) ( C1 A O B C2 C3 ) 注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。 4、 圆心角定理： 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 5、 关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组量相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 6、 圆内接四边形性质：对角互补；外角=内对角 【典型例题】 考点一： 圆周角、圆心角 【例1】．如图，是⊙O的弦，半径，为圆周上一点，若⌒BC的度数为，则的度数为　　 A． B． C． D． 【总结】注意从题中找垂径定理的条件，再考虑圆周角、圆心角定理 【变式训练1】如图， 在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为　　 A ． B ． C ． D ． 【变式训练2】如图，是直径，⌒BC=⌒CD=⌒DE，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在⊙O中，点是弦的中点，是过点的直径，则下列结论：① ② ③弧AD=弧BD ④，其中正确的个数是　　 A．4 B．1 C．2 D．3 【变式训练4】（2022山东聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（　　） A．35° B．38° C．40° D．42° 考点二：直径所对圆周角 【例2】6．如图，是⊙O的直径，，是⊙O上的点，且，则的度数是　　 A． B． C． D． 【总结】见“直径”考虑直径所对圆周角为90° 【变式训练1】如图，是⊙O 的直径，点、在⊙O上，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式训练2】已知⊙O的直径，是弦，，垂足为，且，则等于　　 A． B． C．或 D．或 考点三：圆内接四边形 【例3】如图，四边形内接于⊙O，连接，．若，．则的度数为　　 A． B． C． D． 【总结】圆内接四边形对角互补 【变式训练1】．如图，为圆内接四边形，为延长线上一点，若，则等于　　 A． B． C． D． 【变式训练2】如图，在中，，⊙O经过点，，且与边，分别交于点，，点是劣弧上的一点，且弧BC=弧DF，连接，，．求证：． 考点四：弦与圆周角、圆心角 【例4】有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【总结】弧和圆心角之间有对应关系，但弧长和弦长之间对应关系不是等量的倍数关系。 【变式训练1】已知⊙O的半径为6，弦的长为6，则弦所对的圆心角　　． 【变式训练2】．若一弦长等于圆的半径，则这弦所对的弧的度数是　　 A． B． C．或 D．或 【变式训练3】已知弧AB、CD是同圆的两段弧，且⌒AB=2 ⌒CD，则弦与之间的关系为　　 A． B． C． D．不能确定 考点五：线段之和最小 【例5】如图，是⊙O的直径，点是半圆上的三等分点，点是劣弧的中点，点是直径上一动点．若，，则周长的最小值是　　 A． B． C．2 D．3 【变式训练1】已知⊙O的直径为4，弧的度数为，点是弧的中点，点在直径上移动，则的最小值为　　 A．2 B． C． D．4 【变式训练2】如图，是⊙O的弦，，点是上的一个动点，且，点，分别是，的中点，则线段长的最大值为　　 A．5 B． C． D． 1.如图，，是⊙O的直径，弧AE=弧BD，若，则的度数是　　 A ． B ． C ． D ． 2．如图，⊙O的半径为3，四边形内接于，连接，．若，则弧BD的度数为　　 A． B． C． D． 3.如图，⊙O中，直径，垂足为，，则的大小是　　 A． B． C． D． 4.如图，