第三章 圆的基本性质—— 扇形及圆锥 学案 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

圆的学案-------扇形与圆锥 【知识梳理】 一、扇形弧长 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 2. 圆的周长公式C＝2πR，n°的圆心角所对的弧长l＝。 【重要提示】 （1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”。 （2）问题中若没有标明精确度，则弧长用π表示，如弧长是10π、20π等。 （3）在弧长公式中，已知l、n、R中任意两个量，都可以求出第三个量。 （4）在用弧长公式求n时，注意l与R的单位要统一，且所求的n值一定要小于等于360。 示例：一圆弧的圆心角是300°，所对的弧长是半径为6cm的圆的周长，求该弧所在圆的半径。 解：设该弧所在圆的半径为R，根据题意得＝2×6π，解得R＝7.2cm。 二、扇形面积 1. 圆的面积公式S＝πR2，圆心角为n°的扇形的面积公式S扇形＝；当扇形所对的弧长为l时，S扇形＝lR。 2. 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。当弓形所含的弧是劣弧时，S弓形＝S扇形－S△；当弓形所含的弧是优弧时，S弓形＝S扇形＋S△。 【重要提示】 （1）扇形面积公式S扇形＝lR与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，可与三角形面积公式类比理解，把弧长l看成底，R看成底边上的高。 （2）当已知半径R和圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式S扇形＝；当已知半径R和弧长l时，应选用S扇形＝lR。 三、圆锥知识点： 圆锥的侧面积和全面积 1. 连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥的母线都相等。 2. 如果把圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，那么它的展开图是一个扇形。如图所示，这个扇形的半径是圆锥的母线长SA，弧长是圆锥底面圆的周长。 如图中，高SO＝h，底面圆的半径OA＝r，母线SA＝l，则有h2＋r2＝l2，侧面展开图中，扇形的半径为l，弧长AC为2πr。 3. 圆锥的侧面积S侧＝l·2πr＝πrl；全面积S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2。 【核心归纳】 1. 圆锥的侧面展开图是以母线长为半径的扇形； 2. 圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面的周长； 3. 圆锥的表面积等于圆锥的侧面积加上圆锥的底面积； 4. 圆锥侧面展开图扇形的半径与底面圆的半径不相等。 【重要提示】 圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，因此研究圆锥的有关问题，一般都转化为扇形和圆的问题。 【典型例题】 考点一：扇形弧长计算 【例1】（2022•合肥二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为（　　） A． B． C． D． 【总结】先根据圆周角定理求出∠A的度数，得出∠BOD和∠BOC的度数，由角的和差可得∠COD的度数，最后由弧长公式可得结论． 【变式训练】 1.（2022•乐清市一模）若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　） A．50° B．60° C．100° D．120° 2．（2022•海曙区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，∠A＝24°，则的长为（　　） A．9π B．10π C．11π D．12π 3．（2022•金水区校级二模）如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角120°的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2020秒时点P的纵坐标为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 4．（2022•麒麟区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径AB＝10，点D平分，DE⊥AB交⊙O于点E，∠EDC＝99°，则的长是（　　） A． B． C．3π D． 5．（2022•海淀区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E点，若AD＝CD＝2．则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2022•余姚市模拟）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝，则的长为（　　） A． B． C． D．π 7．（2020•金牛区模拟）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为32cm，BD的长为14cm，则的长为（　　）cm． A．π B．12π C．15π D．36π 8．（2022秋•道里区期末）一个时钟的分针长8cm，经过半个小时后，分针的尖端所走过的路程是（　　） A．πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm 考点二：扇形面积问题 【例2】（2022•天桥区二模）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮⊙O上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，且点A、B、C都在⊙O上，则此扇形的面积是（　　）