第三章 圆的基本性质—— 垂径定理 学案 2022—2023学年浙教版数学九年级上册

( 垂径定理 ) 【知识梳理】 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？（垂径定理) 由此可以得知：垂直于弦的直径的性质： 【典型例题】 考点一： 求弦长 【例1】1．如图，在半径为的⊙O中，圆心到弦的距离为，则弦的长是　　 A． B． C． D． 【总结】勾股定理+垂径定理 【变式训练1】如图，是⊙O的直径，弦于点，，，则　　 A． B． C． D． 【变式训练2】已知在半径为5的⊙O中，，是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点，且，则弦的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练3】如图，点为圆O内一点，且，若⊙O的半径为10，则过点的弦长不可能为　　 A．15.5 B． C．16 D．17 【变式训练4】如图，圆心在轴的负半轴上，半径为5的⊙B与轴的正半轴交于点，过点的直线与⊙B相交于，两点．则弦长的所有可能的整数值有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练5】在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的⊙O与直线交于，两点，则弦长的最小值是　 　． 【变式训练6】（2022山东威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　） A． B． C．4 D．2+2 【变式训练7】（2022山东德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为 ． 考点二： 求半径 【例2】如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：，那么光盘的直径是　　 A． B． C． D． 【总结】确定圆心，找到直角三角形，根据勾股定理确定长度。 考点三：其他 【例3】已知圆O的直径，是圆O的弦，，垂足为，且，则的长为　　 A． B． C．或 D．或 【变式训练2】已知⊙O的半径是，弦，，，则与的距离是　　 A．1 B．7 C．1 或7 D．无法判断 1、如图，⊙O的半径为，圆心到的距离为，则弦长为　 　 ． 2、如图，⊙O的半径，以为圆心，为半径的弧交⊙O于、点，则　　 A． B． C． D． 3、如图是一个圆环形残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点，然后过点作与残片的内圆相切于点，作交外圆于点，测得，，则这个摆件的外圆半径是　__　． 4．某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为，水面到管道顶部距离为，则修理人员应准备　 　内径的管道（内径指内部直径）． 5、点是半径为5的⊙O内一点，且，在过所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为　 　． 6、如图，是⊙O的直径，弦，垂足为，若，，则直径的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 7.在平面直角坐标系中，为原点，⊙O的半径为7，直线交圆O于、两点，则线段的最小值为　 　． 8．如图，⊙O直径和弦相交于点，，，，求弦长． 9.圆O的半径是13，弦，，，则与的距离是　　 A．7 B．17 C．7或17 D．34 10.在半径为圆中，两条平行弦分别长为，，则这两条平行弦之间的距离为　　 ．或 ．或 ．或 ．或 11.如图，为圆O内的一个定点，为圆O上的一个动点，射线、分别与圆O交于、两点．若圆O的半径长为3，，则弦的最大值为　　 A． B．3 C． D． 12.在半径为的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． ①若油面宽，求油的最大深度． ②在①的条件下，若油面宽变为，求油的最大深度上升了多少？ 13．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是⊙O的弦的中点，经过圆心交圆O于点，，．求⊙O的半径． 14．如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度，弓形的高，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $