1.3.4 导数的应用举例（同步练习）-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测（提高篇）

2022-2023学年选择性必修二素养提升检测（湘教版） 1.3.4 导数的应用举例（解析版） （测试时间60分钟） 1、 单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．（2023·山西太原高二专题检测）在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ） A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元 【答案】B 【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意，且， ， 所以函数在，函数递增；在，函数递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故选：B 2．（2023·湖南长沙高二专题检测）某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且．已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为（    ） A．23万件 B．25万件 C．50万件 D．75万件 【答案】B 【分析】设生产件产品时，总利润为,由条件求其解析式，用导数的方法研究其单调性，即可求出结果. 【详解】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），又生产件这样的产品单价为元，所以， 故，所以， 记生产件产品时，总利润为, 所以, 则，令有，且在上单调递减，故由，得；由，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取最大值，即产量定为万件时，总利润最大． 故选：B 3．（2022秋·河南安阳·高三校联考阶段检测）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的解析式可以表示为.若甲、乙两地相距千米，当从甲地到乙地耗油最少时，汽车匀速行驶的速度是（    ） A．70千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时 【答案】C 【分析】写出耗油量与行驶速度的函数解析式，利用导数求解函数单调性，从而可得函数的最小值. 【详解】当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地需行驶小时， 设耗油量为升，依题意得 ， 则. 令，得， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数. 所以当时，函数取最小值， 即汽车匀速行驶的速度是90千米/小时时，从甲地到乙地耗油最少. 故选：C 4．（2019春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段检测）做一个容积为立方米的方底无盖水箱，为使所用材料最省，它的高应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设水箱的底面边长为，可得出其高为，求出无盖水箱的表面积关于的函数关系式，利用导数求出函数的最小值及其对应的的值，即可求出水箱的高. 【详解】设水箱的底边面边长为，则水箱的高为， 该水箱的表面积为，其中， ，令，可得. 当时，；当时，. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 则函数在时取得最小值，此时水箱的高为（米）. 故选：C. 5．（2023·内蒙古·校联考模拟预测）从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值. 【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为， 所以，故， 所以， 设线段对应的函数解析式为， 因为直线经过点，所以， 所以， 设，则点的坐标为 由可得， 所以点的坐标为， 所以， 所以直角梯形的面积， 所以， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最大值，最大值为. 故选：D. 6．（2023秋·宁夏银川·高二银川一中校考期末）某公司生产一种产品，固定成本为元，每生产一单位的产品，成本增加元，若总收入与年产量的关系是，，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的导数，然后分析单调性，得出正确答案即可. 【详解】设总利润为（） ，（）， 令，可得，当时，,当时，， 故当时，取得最大值. 故选：D. 7．（2023·四川·校联考一模）四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】设正方形AB