8.3 列联表与独立性检验（五大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 8.3列联表与独立性检验 【题型归纳目录】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 题型三：有关“相关的检验 题型四：有关“无关的检验 题型五：独立性检验的综合应用 【知识点梳理】 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分 类变量，分类变量的取值可以用实数表示。 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统 计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对 分类变量数据的交叉分类频数 一般地，假设有两个分类变量X和了，它们的取值分别为1，x2}和，}，其2×2 列联表为 5 合计 b a+b 七3 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条 形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推新结果， 4、临界值 x2统计量也可以用来作相关性的度量，x越小说明变量之间越独立，x越大说明变 量之间越相关 x2- n(ad-be)' 忽略x的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 小概率值a,可以找到相应的正实数x,使得Px≥x。=a成立.我们称x为u的临界 值，这个临界值就可作为判断x大小的标准。 1 头原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学科网 李科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 5、独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当x2≥x。时，我们就推惭H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超 过a: 当x2<x。时，我们没有充分证据推断H不成立，可以认为X和Y独立. 这种利用x?的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x独立性检验，读作“卡 方独立性检验”，简称独立性检验(test of independence). 下表给出了2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H。：X和了相互独立，并给出在问题中的解释： (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值七比较： (3)根据检验规则得出推断结论： (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影 响规律。 【典型例题】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【方法技巧与总结】 (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误。 (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列 联表，然后根据频率特征，即将口与Cb与1 的值相比，直观地反映出两 a+b c+dla+b c+d 个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣 例1.(2023全国高二单元测试)假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表： 巧 a b d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为( A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 2 .原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【答案】D 【解析】 对于两个分类变量x与y而言，ad-bc的值越大，说明x与y有关系的可能性最大， 对于A选项，ad-bc=5×2-4x3引=2， 对于B选项，ad-bc=5×2-3×4=2, 对于C选项，ad-bc=2×5-3×4=2, 对于D选项，ad-bc=|2×4-3×5=7, 显然D中ad-bc最大， 故选：D 例2.(2023福建厦门双十中学高二阶段练习（理）)在一次独立性检验中，得出列联 表如图：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是() A A 合计 B 200 800 1000 B 180 a 180+a 合 380 800+a 1180+a 计 A.200 B.720 C.100 D.180 【答案】B 【解析】 解：因为两个分类变量A和B没有任何关系， 所以K?= (1180+a(200a-800-1802 <2.702, 380800+a