9.5 多项式的因式分解-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

多项式的因式分解 知识点一、因式分解 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. （1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式； （2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止； （3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 例：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x+2＝x（1） 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键． 知识点二、公因式 公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. （1）公因式必须是每一项中都含有的因式； （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式； （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 例：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　） A．a2b B．﹣4a2b2 C．4a2b D．﹣a2b 【分析】利用公因式的确定方法可得答案． 【解答】解：多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中各项的公因式是4a2b， 故选：C． 【点评】此题主要考查了公因式，关键是掌握确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 知识点三、提公因式法分解因式 1. 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即. 2. 提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，； 3. 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式； 4. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号； 5. 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 例：已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（　　） A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6 【分析】首先提公因式xy，再代入计算即可． 【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6， 故选：D． 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握确定公因式的方法． 知识点四、运用公式法分解因式 1. 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法； 2. 逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积. 3. 逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 例：下列结论正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2 C．a2﹣9b2＝（a+3b）（a﹣3b） D．a2﹣2b2＝（a+2b）（a﹣2b） 【分析】利用完全平方公式，以及平方差公式判断即可． 【解答】解：A、原式＝a2+b2+2ab，不符合题意； B、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意； C、原式＝（a+3b）（a﹣3b），符合题意； D、原式＝（ab）（ab），不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键． 巩固练习 一．选择题（共8小题） 1．下列因式分解变形正确的是（　　） A．2a2﹣4a＝2（a2﹣2a） B．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 C．﹣a2+4＝（a+2）（a﹣2） D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3） 2．把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是（　　） A．偶数 B．奇数 C．11的倍数 D．9的倍数 3．已知m，n均为正