9.4 乘法公式-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

于科问原创，让学习更容易！ coM学科网精品频道全力推荐 乘法公式 知识点一、完全平方公式 1.完全平方公式：(a＋b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，即两个数的和（或差）的 平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。 2完全平方公式的推导： （1）用多项式乘法法则进行推导，过程如下： ①(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2， ②(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2 （2）通过面积法推导完全平方公式： ①如图所示是一个边长为a＋b的正方形，面积为(a＋b)^2， a bⅲ 它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即a^2+2ab+b^2， 所以可以得到(a+b)^2=a^2+2ab+b^2， ②如图所示，边长为a-b的小正方形的面积是(a―b)^2， a-b_，b， 它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即a^2-ab-b(a-b)=a^2-2ab+b^2 所以可以得到(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 3. 完全平方公式的结构特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和 加（或减）这两数之积的2倍 4.完全平方公式的常见变形： (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2-(a-b)2=4ab: (3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2): ④ab=2[(a+b)2-(a2+b2)]: (5)ab=[a+)2-a-b)2] 5. 三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如： (1)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc: (2)(a-b-c)2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc 例：如图，矩形ABCD的周长是IOCm,以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF 和ADGH的面积之和为17C2,那么矩形ABCD的面积是() HG D A.3cm2 B.4cm2 C.5cm2 D.6cm2 【分析】设AB=x,AD=y,根据题意列出方程x2+y2=17,2(x+y)=10,利用完全平方公式即可求出 y的值。 【解答】解：设AB=x,AD=, :正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2 .x2+y2=17, ,矩形ABCD的周长是1Ocm .2(x+y)=10, :(x4y)2=x2+2y+y2 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 于科问原创，让学习更容易！ p。zx K.cOM学科网精品频道全力推荐 ∴25=17+2y， ∴xy=4， ∴矩形ABCD的面积为，xy=4cm^2， 故选：B． 【点评】本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB=x，AD=y，利用完全平方公式求出xy的 值． 知识点二、平方差公式 1平方差公式：(a＋b)(a-b)=a^2-b^2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方 2．平方差公式的推导： (1)用多项式乘法法则进行推导：(a＋b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2， （2）通过面积法推导平方差公式： α_____________b a-b b| 一b图1b图2 如图1所示，涂色部分的面积为a^2-b^2，如图2所示，涂色部分的面积为(a＋b)(a-b)， 所以可以得到(a+b)(a-b)=a^2-b 3-平方差公式结构特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相 反数，等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差 4平方差公式的变化： 1)位置变化：(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2， （2)符号变化：（-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)^2-a^2=b^2-a2， (3)指数变化：(a^3+b^2)(a^3-b^2)=a^6-b^4， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (4)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2: (5)增顶变化：(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2: (3)连用公式：(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4 例：如图(1)，在边长为a的