考点10 三角形的中线、角平分线、高线问题3种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 考点10三角形的中线、角平分线、高线问题3种常见考法归类 第一养 解题策略 一、涉及中线长的工具： 如图1，在△ABC中，设D为边BC上的中点，与中线长AD有关的计算问题，常见的处理方法有三种 L.在△ABD、△ACD和△ABC中解三角形，求解AD 2.补成平行四边形：如图2，AE=2AD,可在△ABE中求解AE,从而得出AD 3利用向量：由AD=(aB+AC,两边平方后D=aB+AC2+2B.AC就可以得到中线、∠A及 其两邻边的关系， 图】 图2 注：1、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD习 =2(AD2+CD2) 推导过程：在△ABD中，cosB=AB+D-AD 2ABBD 在AABC中，cOsB=AB4BCAC 2ABBC 联立两个方程可得：AB2+AC2=2(BD2+AD3 【点晴】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 2、向量法：AD=寺(b2+c2+2 bccosA) 推导过程：AD=(AB+AC), 1 头原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利科购 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 则AD2-(AB+AC)2=AB+AC+引AACICOSA 所以AD=}(b2+c2+2 bccosA) 【点睛】适用于已知中线求面积（已为器的值也适用） 二、涉及角平分线的工具： A D 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,角A、B,C所对的边分别为a,b,c 1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD 2、内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则瓷=器， 推导过程：在△ABD中，。AB BD sin ZADB sin∠BAD' 在△ACD中， AC CD sn∠4Dc=sin /CAD，→U AC CD 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即S题=AB_BD SMCD AC CD 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比， 再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题， 运用向量知识解决起来都较为简捷。 3、等面积法： 因为SAABD十SACD=S△MBC 所以号c·ADsin号+b·ADsin号=bcsinA, 所以(b+c)AD=2 bc cos号 整理的：AD= 2bccos btc (角平分线长公式) D 2 买原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 4、角互补 ∠ADB+∠ADC=π→coS∠ADB+cos∠ADC=0 在△ADB中有：cOS∠ADB= DA+DB2-AB' 2DAx DB 在△ADC中有：cos∠ADC=DA+DC2-AC 2DAxDC 注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和长度”两个方面入手考虑 1角度：角被平分 2长度：在△4BC中，AD为∠BAC的平分线，则45=DB AC DC 这就是角平分线性质定理之一提醒：角平分 线性质定理大题中不建议直接使用 三、涉及高线的工具： 1小，，么分别为AA8c边a,,c上的高，则：h,:h,=上：L:L:1:1 a b c sin A sin B'sin C 2、求高一般采用等而积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度 高线两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关。 第二养 高频考点 考点一中线问题 (一)求中线长 (二)已知中线长求其他量 (三)与中线长有关的最值（范围）问题 (四)与中线有关的综合问题 考点二角平分线问题 (一)求角平分线长 (二)已知角平分线长求其他量 (三)与角平分线有关的范围问题 (四)中线与角平分线的综合问题 考点三高线问题 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第三为 考点精析 考点一中线问题 (一)求中线长 1.(2023春湖南高一校联考阶段练习)在aABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足 b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b),Hsin C sin 2B. (1)求角B的大小： (2)若△ABC的面积为23，求AC边上的中线长. 2。(2022春四川成都高一四川省成都市新都一中校联考期未)在△8C中，若AC=25,4=名，再从 下列①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线长条件①： BC=2;条件②：Sc=V5;条件③：△4BC的周长为6， 3.（2023全国高一