专题34 一次函数与全等三角形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

专题34 一次函数与全等三角形结合 【例题讲解】 直线AB：y＝x＋b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(－3，0)，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB∶OC＝3∶1． （1）求点B的坐标及直线BC的函数表达式； （2）在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD，并求出点D的坐标． 解：（1）∵直线AB：y=x+b过点A（-3，0），∴0=-3+b，∴b=3．当x=0时，y=x+b=b=3， ∴点B的坐标为（0，3），即OB=3．∵OB：OC=3：1，∴OC=1． ∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为（1，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0），将B（0，3）、C（1，0）代入y=kx+c，得： ，解得：，∴直线BC的函数表达式为y=-3x+3． （2）分在x轴上方：△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑： 如图①：①当△BAD≌△ABC时，∵OA=OB=3， ∴∠BAC=45°．∵△BAD≌△ABC， ∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4， ∴BD∥AC，∴点D的坐标为（-4，3）； ②当△ABD≌△ABC时，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4， ∴∠DAC=90°，∴点D的坐标为（-3，4）． 如图②当△ABD≌△BCA时，BD=AC=4∴OD=1 ∴点D的坐标为（0，-1）． 综上所述，点D的坐标为（-4，3）或（-3，4）或（0，-1）． 【综合解答】 1．如图，直线y＝－x＋8与x轴，y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．则△BDC的面积=____．若P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．△BDC与△BPQ全等(点Q不与点C重合)，写出所有满足要求的点Q坐标______． 【答案】          ，， 【分析】将两条直线的方程联立，求出点的坐标，从而可得的底与高，进而求出面积；对点的位置进行分类讨论，画出使与全等的草图，结合全等三角形对应边相等建立等量关系，求出点的坐标． 【详解】解：，令，得， ． ，令，得， ． ． 令，解得， ． ． 若与全等，则： ①当点在点下方时，如图所示，，． ，即，解得， 将代入，得． ． ②当点在点上方时，如图所示． 若，，则， 将代入，得， ． 若，，则，   将代入，得， ． 综上，所有满足题意的点的坐标为，，． 故答案为：；，，． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及应用，全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数与全等三角形相关知识是解题的关键． 2．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____． 【答案】（4，3）或（3，4） 【分析】求出的坐标，分平行轴，不平行轴两种情况，求解计算即可． 【详解】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b， 解得：b＝3 ∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， ∴点B（0，3） ∵OB：OC=3：1 ∴OC＝1， ∴点C（﹣1，0）； ①如图，当BD平行x轴时，以点为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形 则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）； ②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等， ∴直线DD′∥AB， 设直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n， 将点D的坐标代入y＝﹣x+n中解得：n＝7， ∴直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7， 设点D′（m，7﹣m）， ∵A，B，D′为顶点的三角形与△ABC全等， 则BD′＝BC＝， 解得：m＝3， 故点D′（3，4）； 故答案为：（4，3）或（3，4）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋4经过点A（3，0），与y轴交于点B． （1）k的值为__________________； （2）y轴上有点M（0，），线段AB上存在两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与OMP全等，则符合条件的点P的坐标为__________________． 【答案】     ﹣     （，）或（，） 【分析】（1）将点A（3，0）代入y＝kx＋4即可求出k； （2）分两种情况分别讨论：①过点O作OQ⊥AB于Q，过点M作MP⊥OB于M，用面积法求出OQ，证明OPM≌OPQ，从而得P点纵坐标，代入一次函数解析式求出横坐标即可；②如图②，当OB＝BP，OM＝PQ，过点P作PF⊥OB于F，过点O作O