第10章 分式(解答压轴题一 2022-2023学年苏科版数学八年级下册分式类型突破提高

分式（解答压轴题一） 1．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，=，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 ___________．（填序号） ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：=___________+． (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 2．已知，，，求的值． 3．已知++=1，且，求++的值． 4．（1）仔细观察如图图形，利用面积关系写出一个等式：a2+b2＝　 　． （2）根据（1）中的等式关系解决问题：已知m+n＝4，mn＝﹣2，求m2+n2的值． （3）小明根据（1）中的关系式还解决了以下问题： “已知m+＝3，求m2+和m3+的值” 小明解法： 请你仔细理解小明的解法，继续完成：求m5+m﹣5的值 5．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即 ∴∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴ 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值． （3）若，，，，且，求的值． 6．“拼图，推演，得到了整式的乘法的法则和乘法公式．教材第9章头像拼图这样，借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象. 【分数运算】 怎样理解？ 从图形的变化过程可以看出，长方形先被平均分成3份，取其中的2份（涂部分）；再将涂色部分平均分成5份，取其中4份（涂部分）.这样，可看成原长方形被平均分成15份，取出其中8份，所以的占原长方形的，即. 【尝试推广】 （1）①类比分数运算，猜想的结果是____________；（a、b、c、d均为正整数，且，）； ②请用示意图验证①的猜想并用文字简单解释. （2）①观察下图，填空：____________； ②若a、b均为正整数且，猜想的运算结果，并用示意图验证你的猜想，同时加以简单的文字解释. 7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 8．代数式求值是在已知字母的值或限制条件下，求出给定代数式的值．为了方便求值，我们常常将所求代数式化简或把限制条件进行变形，再将变形后的条件代入化简后的代数式求值． 例如：当时，求的值． 为解决本道题，若直接把代入所求式子进行计算，计算量较大，我们可以通过对条件和所求式子变形，对本题进行解答： 解：∵∴ ∴， ∴． 方法一：∵，∴ ∴原式 方法二：∵，∴ ∴原式 …本题还有其它类似方法． 请参照以上解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）当时，____________． （2）当时，求的值． （3）当时，求的值． 9．【阅读材料】 小慧同学数学写作片段 乘法公式“大家族” 学习《整式的乘法及因式分解》之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如， ； ； ； ． …… 【解题运用】 （1）在实数范围内因式分解：___________； （2）设满足等式，求的值； （3）若正数满足等式，求代数式的值． 10．阅读： （1）若a＜b，则2a﹣3＜2b﹣3，简述理由： 小明的解法：∵a＜b， ∴2a＜2b，（不等式性质2：　 　）， ∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性质1）． 小亮的解法：令y＝2x﹣3， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． ∵a＜b， ∴2a﹣3＜2b﹣3． 小敏的解法： ∵a＜b，观察函数y＝2x﹣3的图象可知，图象上点（a，2a﹣3）在点（b，2b﹣3）的左边，而图象由左往右呈上升趋势， ∴2a﹣3＜2b﹣3． （2）若a＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣与﹣的大小． （3）若a＜b＜0，比较（a+2）2+1与（b+2）2+1的大小，简述理由． （4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接写出﹣与﹣的大小关系． 11．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，