2.2　用配方法求解一元二次方程 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

大单元 子单元：方程与方程的计算 第一节：一元二次方程 第二课时：用配方法求解一元二次方程 预期目标：能根据平方根的意义解形如(+m)2=(0)的方程 会用配方法解二次项系数不为1的较复杂的一元二次方程 母题1：(1)x2-1 (2)x2-0 选题理由：本题考查平方根的意义，这两个平方根具有的关系， 通过复习平方根的概念及意义，为本节课的学习做准备。 学生问题分析：学生对平方根和算术平方根的概念易混淆，再次明晰为配方法解 一元二次方程做准备。 解题方法分析：根据平方根的概念进行计算。 母体变式1：4的平方根是±2，你还记得什么是平方根吗？ 般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根 母体变式2：平方根的意义是什么？ 如果x2=a(a≥0)，那么x=±va 思考：这两个数具有什么关系？ 互为相反数 通过复习平方根的概念及意义，为本节课的学习做准备 在上一节的问题中，梯子的底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0.你还 记得x的近似值吗？ 近似值：1.1<x<1.2. 追问：你知道如何求x的精确值吗？ 母体变式3：通过三个问题串，引导学生从简单的问题着手，尝试去解一元二次 方程，总结归纳出配方法的基本思路 问题1：说一说你会解哪些特殊的一元二次方程？ (1)x2-1 (2)x2-0 (1).(±1)2-=1 ∴根据平方根的意义，得x1=1,x2=-1. (2).02=0 .根据平方根的意义，得x1=x2-0. 母题2：那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？ (1)x2=5: (2)2x2+3=5; (3)x2+2x+1=5:(4)(x+6)2+72=102. (1)(5yP=5, ∴.根据平方根的意义，得 x=5,x=-5 (2)2x2+3=5 移项，得2x2=2 x2=1 .根据平方根的意义，得 x1=1,x2=-1 (3)x2+2x+1=5 (x+1)2=5 类比x2=5可得：x+1=±V5 为=-1+5，x=-1-V5 (4)(x+6)2+72=102 移项，得(x+6)2=102-72 化简，得x+6)2=51 用(3)类似方法：x+6=±V5 ∴x=6+V51,x2=-6-V51. 母题变式1：你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法 将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流 选题理由：通过观察，学生会进行移项，移项后，发现还是不能解决，从而引发 学生思考，需要进行配方，才能转化为问题1和2的类型. x2+12x-15=0 移项，得x2+12x=15 两边都加62，得x2+12x+62=15+62 即（x+6)2=51 两边开平方，得x+6=±\sqrt{51} ∴1=-6+\sqrt{51}，x2=-6-\sqrt{51} 道问：上述求解一元二次方程的思路是怎样的呢? 【归纳】 解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式 注意：左边是一个完全平方式，右边是个大于等于0的常数。 教师提出问题，学生先独立思考，解答。然后再在小组内交流探讨，如遇到有困 难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程 母题3：解方程x2+8x-9=0． 分析： ①先把常数项移到右边：x2+8x=9； ②再两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+8x+16=9+16；转化为（x +4)2=25 ③开平方得：x+4=±5，最后解两个一元一次方程，从而解出一元二次方程的解。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9， 两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得x2+8x+42=9+42， 即（x+4)2=25． 两边开平方，得 x+4=±5， 即x+4=5或x+4=-5. 所以x1=1，x2-9. 想一想：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ ①移项②配完全平方式 ③开平方④解一元一次方程 选题理由：通过观察比较两个一元二次方程，发现它们的不同，思考如何求解二 次项系数不为1的较复杂的一元二次方程 观察比较下列两个一元二次方程，你发现了什么？ (1)x2+6x+8=0 (2)3x2+18x+24=0 (1)二次项系数为1 (2)二次项系数不为1 思考： 如果一元二次方程的系数不为1，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？ 方程3x2+18x+24=0两边同时除以二次项系数3，得到二次项系数为1的一元 二次方程，从而求解。 归纳：在方程的两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1. 母题变式1：解方程3x2+8x-3=0. 分析： 3x-1=0 8 x2 ①先两边同除以3： 思路一：先移项再配方 r2*8 x=1 ②把常数项移到右边： 3 ③再两边同时加上一次项系数一半的平方，得+ 即 思路二：先配方再移项 两边同时加上次系数的平有，为+-（传-10 .42 25