6.3.2 二项式系数的性质-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2二项式系数的性质 问题导入 (a+b)”的展开式的二项式系数C%,Cn,C,,C,…C有很多有趣的性质， 而且我们可以从不同的角度进行研究. 问题1：用计算工具计算的展开式的二项式系数，并填入表， 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 6 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 新知探索 从上表中可以发现，每一行中的系数具有对称性除此之外还有什么规律呢？为 了便于发现规律，上表还可以写出如图所示的形式 (a+b) (a+b) (☑+b）月. (a+b) (a+b)5 (a+b) 15 20 15 6 观察上图，你还能发现哪些规律？ 新知探索 对于(a+b)”的展开式的二项式系数C,C,C,,C,我们还可以从函数 的角度分析它们.C可看成以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2，，n. 对于确定的n,我们还可以画出它的图象.例如，当n=6时，函数 f(r)=C(r∈{0,1,2，…，n)的图象是7个离散点，如图所示 f(r)1 20 15 10 5 d12346 新知探索 问题2：（1)观察上图，你发现了什么规律? (2)请你分别画出n=7，8，9时函数f(r)=C_π的图象，比较它们的异同，你发现 了什么规律? (a+b）)……--12=115} （a+bP…—+615-20-15-61 分析上述两个图，可以得到二项式系数的以下性质、 新知探索 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由 C”=C-m得到。 直线r=将函数fr)=C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 因为c路=-少-2m-山=C路-1"-牛， 即c览 =n-k+1 (k-1)k 所以，当牛>1，即k<时，C随k的增加而增大，由对称性知，当 k>时，C$随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项C2取得最大值；当n是 -1 +1 奇数时，中间的两项Cn2与C相等，且同时取得最大值. 新知探索 3.含二项式系数的和 己知(1+x)n=C9+Cx+C2x2…+C%xk+…+C%x", 令x=1,得2n=C%+C1+C2+…+C$+…+C7 这就是说，(a+b)”的展开式的各二项式系数的和等于2”. 新知探索 辨析1.已知(a+b)"的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(). A.11 B.10 C.9 D.8 答案：D. 辨析2.(x-)?的展开式中二项展系数最大的项是第 项 答案：4或5. 例析 例3求证：在（α+b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和. 解：在展开式(a+b)n=C%a”+Chan-1b1+…+Ca-kb+…+Cb中， 令a=1,b=1,则得(1-1)”=C9-C+C7+…+(-1)kC$+…+(-1)"C7. 即(C9+C7+CA+…)-(C1+C3+C+…)=0. 因此，C%+C院+CA+…=C+C3+C克+…， 即在（α+b)”的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和， 练习 {题型一：求二项展开式中系数或二项式系数的最大项{ 例1.(1)(1+2x)”的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最 大的项为(). A.第5项 B.第6项或第7项 C.第6项 D.第7项 答案：A 解：(1)T6=C(2x)2,T7=C(2x)5,依题意有C×22=C%×22→n=8. 所以(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为第5项.故选A.