6.4.3正弦定理、余弦定理的应用举例课件(4)-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 正弦定理、余弦定理的应用举例 1 学习目标 1.理解实际测量问题中的有关名词、术语（目标方向线、方位角等）的确切含义 2.理解测量中的有关名词、术语（目标方向线、方位角等）的确切含义 3.会利用正余弦定理解决实践中的有关角度问题 一、课前准备 1、正弦定理： （其中：R为△ABC的外接圆半径） 2、正弦定理的变形： 复习回顾 变形 余弦定理： 在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用： 基线的概念与选择原则 6 测量中的有关角的概念 7 二、创设情景 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 遥不可及的月亮离地球有多远呢? 1671年,两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400km,他们是怎样测出两者之间距离的呢？ 在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？ 题型一 距离问题 例1 如图， A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B 两点间的距离的方法.并求出A，B 间的距离。 思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？ 先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。 13 题型二 高度问题 例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。 15 题型三 角度问题 例3 确定的线段 1.基线：根据测量的需要而___________叫做基线． 2.选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 2.仰角和俯角：前提：在视线所在的垂直平面内． (1)仰角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角． (2)俯角：视线在水平线__________时，视线与水平线所成的角． 以上 以下 1.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的 小于90°的水平角．如图，北偏东30°，南偏东45°. 解：测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α， ∠ACD=β，∠CDB=γ， ∠BDA=δ， 在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得 于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离 ∴AD＝60，故CD＝60. 故河的宽度是60 m. 解析：　tan 30°＝，tan 75°＝， 又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°， 变式1：如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B， 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， AB＝120 m，求河的宽度. 例2 解 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得 所以，这座建筑物的高度为 sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)， 故建筑物的高度为PBsin 45°＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝(30＋30eq \r(3))m. 由正弦定理，得PB＝eq \f(ABsin 30°,sin 15°)＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))m， 变式2：为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点， 从A，B两点测得建筑物顶端的仰角为30°，45°， A，B两点间的距离为60 m，求该建筑物的高度． 解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m， 　 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？ 解：根据题意，画出示意图，如图。 由余弦定理，得 由正弦定理，得 于是 由于0° <C<90°，所以。 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+30°=76°，大约需要航行24n mile. 变式3.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2eq \r(2) mm，AB＝eq \r(29) mm，则∠ACB＝________．