9.5多项式的因式分解(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年七年级数学下册重要考点精讲精练（苏科版)

9.5多项式的因式分解 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 注：（1）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （2）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数. ②字母是各项中都含有的相同的字母，指数取相同字母的最小指数. 因式分解 把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 注：①因式分解的最终形式是积的形式； ②因式分解要分解到不能再分解为止。 提取公因式法 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公式法 ， 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于项数较多（大于等于四项）的多项式进行因式分解时，通常会先将原式进行重新分组，然后再利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等进行分组的因式分解。（比如：五项式通常分成3+2项；六项式通常分成3+3或2+2+2项。） 题型1：公因式的判断 1．多项式12ab3c+8a3b的公因式是 　　． 【变式1-1】在多项式4x3y2+8x2y3﹣6xy2中，各项的公因式是 　　． 【变式1-2】指出下列多项式中各项的公因式： （1）3a2y﹣3ay+6y； （2）xy3x3y2； （3）27a2b3+36a3b2+9a2b． 题型2：提取公因式法 2. 因式分解：3m2+6m＝　 　． 【变式2-1】已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为　　． 【变式2-2】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是 　　，共用了　　次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 　　． （3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）． 题型3：公式法 3. 分解因式：a2﹣16b2＝　　． 【变式3-1】分解因式：（x2+9）2﹣36x2＝　　． 【变式3-2】因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9． 【变式3-3】观察下列各式： a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）， a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）， a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）， … （1）按此规律，则a5﹣b5＝　 　； （2）若a3，你能根据上述规律求出代数式a3的值吗？ （3）若a3，直接写出代数式a5　　． 【变式3-4】整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y2+2y+1＝（y+1）2再将“y”还原即可． 解：设x2+2x＝y． 原式＝y（y+2）+1（第一步） ＝y2+2y+1（第二步） ＝（y+1）2（第三步） ＝（x2+2x+1）2（第四步）． 问题： （1）①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果 　　； ②请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解； （2）请你模仿以上方法尝试计算： （1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）． 题型4：分组分解法 4. 因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝　　． 【变式4-1】分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝　　． 【变式4-2】分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝　　． 【变式4-3】阅读下列材料： 提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）有人说，无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由． 题型5：十字相乘法 5. 分解因式：x2+6x﹣7＝　　． 【变式5-1】已知二次三项式2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），则a＝　　，k＝　　．