5.3 导数在研究函数中的应用-【精彩三年】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册课件PPT（人教A版）

浙江良品图书有限公司 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 5．3.1　函数的单调性 精彩三年课程探究与巩固数学选择性必修2 单击此处编辑母版文本样式 1 [课程目标] 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.会用导数求函数的单调区间(多项式函数不超过三次).   单击此处编辑母版文本样式 知识点 1．函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)＞0 单调递_____ f′(x)＜0 单调递_____ 增 减 单击此处编辑母版文本样式 [研读] (1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f (x)在此区间上为单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f (x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f (x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0； (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f (x)是常数函数． 单击此处编辑母版文本样式 2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得______，其图象比较______(向上或向下).反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓． 较快 陡峭 单击此处编辑母版文本样式 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) × × √ 单击此处编辑母版文本样式 例1　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右，则该函数的图象是(　　) 类型一 函数图象与导函数图象的关系 B 单击此处编辑母版文本样式 D 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 (1)方法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．故选B. 方法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足． 由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] 函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象． 单击此处编辑母版文本样式 C 单击此处编辑母版文本样式 (2)已知函数y＝xf′(x)的图象如右(其中f′(x)是函数 f (x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f (x)的图象大 致是(　　) C 单击此处编辑母版文本样式 【解析】 (1)当f′(x)＞0时，y＝f(x)是单调递增的；当f′(x)＜0时，y＝f(x)是单调递减的．故①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误． (2)当0＜x＜1时，xf ′(x)＜0，∴f ′(x)＜0，故f (x)在(0，1)上单调递减；当x＞1时xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＞0，∴f (x)在(1，＋∞)上单调递增． 单击此处编辑母版文本样式 又当－1＜x＜0时xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＜0.故f (x)在(－1，0)上单调递减，当x＜－1时，xf ′(x)＜0∴f ′(x)＞0.∴f (x)在(－∞，－1)上单调递增，对比图象，故选C. 单击此处编辑母版文本样式 类型二 求函数的单调区间 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 [规律方法] (1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)； ③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； ④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间． (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那