考点09 与三角形有关的范围（最值）问题8种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 考点09与三角形有关的范围（最值)问题8种常见考法归类 第一养 解题策略 解三角形问题中，求解某个量（式子）的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式）的值作为函数值， 转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范 围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义城）找完善，避免结果的范围过大 模型1己知三角形的一角及其对边 如图，已知△ABC的三个内角为A,B,C,及其对应边分别为a,b,c,且A=T, ,a=2(即已知三角形的 3 一一角及其对边)，则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ①B+C=元-A-25Be@,25Ce0,25 3 ②正弦定理： 2R=6 24V5 sinB sinC sin A (其中R为△ABC外接圆的半径)（实现了边角 sin 3 3 的相互转化) 即b=2 Rsin B= 3 sin B.c=2Rsin C=4 4 ③余弦定理：a2=b2+c2-2 bccos A,即4=b2+c2-bc(可看作b,c的方程) 变形：4=(b+c)2-3bc,4=(b-c)2+bc B a=2 以上三个隐含的解趣条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、 边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方 法. 例，在上述条件下可求： (1)B+C: 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)△ABC外接圆的半径： (3)sinB+sinC的取值范围（拓展到求sin B+t2sinC(tt2≠O)的最值）： 类似还有：sin BsinC,cosB+cosC,cos BcosC(若△ABC为锐角三角形？) (4)b+c的取值范围（拓展到求入b+uC(2μ≠0）的最值)： (5)bc的取值范围 (6)△ABC周长的最大值（即求a+b+c的最大值）： (7)△ABC面积的最大值 (8)b2+C2的取值范围 已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值 ①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 (口诀：正弦定理化角，三角函数求最值) 基本步骤： (1)利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 (2)将所求式子化简为y=Asin(or+p)的形式或二次函数型 (3)确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到真之间）注：如果△ABC是锐角三角形，则需要满 是0<4<行，0<B<号，0<C< (4)根据角的范围求最值（范围） ②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。 (口诀：余弦定理化边，不等式求最值) 核心示例：已知△MBC中角A=60°，a=2,求b+c和bc的范围（最值） 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 becos A 即4=b2+c2-bC (1)由上式可知：(b+c)2-3bc=4 3c=b+e-4s32生9，即b 4s4 求周长的最大值 解得b+c≤4，又由三角形两边之和大于第三边 ∴.2<b+c≤4 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学科网原到，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)4=b2+c2-bc得bc+4=b2+c2≥2bC 求面积的最大值 ∴.bc≤4 模型2已知三角形的一角及其邻边 例：如图，已知AABC的三个内角为A,B,C,及其对应边分别为a,bc,且B=?,c=1(卿配三0 形的一角及其邻边)，若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围 60° B 0<C<π 方法一：：4A8C是锐角三角形，由A+B+C=元得到A+C=2见， 3,放{ ，解得 2-C< 0< 2 君<C<号：由三角形的面积公式有Sccs5如8= a，由正弦定理a 4 sinA sinC,可得 a=csinA_sinA sin(+C)3 3 -315 2 一= sinCsinC sin C sin C 1.:.5aunc 8 tanC 8 2tanC 2 6C 今放anC>5,故53.工±上<3即AA8C面积的收值范阴是(5心 88 tanC 8 2 82 方法二：若△4BC为锐角三角形，且c=1,由余弦定理可得6=a2+1-2a小cos7=a2-a+1, cosC>0卿 +622,唧a,a+1小g 由三角形ABC为锐角三角形，且B=5，÷0即b+c2>a2 a2+a2-a+1>