7.5 正态分布（四大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 7.5正态分布 【趣型归纳目录】 题型一：正态曲线的图象的应用 题型二：利用正态分布的对称性求概率 题型三：正态分布的实标应用 题型四：正态分布标准化 【知识点梳理】 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正 态曲线显然对于任意xeR,f(x)>0,它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1， 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 若随机变量X的概率密度函数为(x),则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(4,o2),特别地， 当4=0，。=1时，称随机变量X服从标准正态分布 2、由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x=4对称： (2)曲线在x=4处达到峰值1 av: (3)当无限增大时，曲线无限接近x轴。 3、正态分布的期望与方差 若X~Nu,o2),则E(X)=4,D(X)=G2. 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(H-o≤X≤4+)≈0.6827： (2)P(H-2o≤XsH+2o)≈0.9545： (3)P(u-3o≤X≤4+3o)≈0.9973. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(4,。2)的随机变量X只取[μ-3o,4+3o]中的值，这在统 计学中称为3σ原则。 【典型例题】 题型一：正态曲线的图象的应用 【方法技巧与总结】 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x=4,二是最 大值为1 这两点确定以后，相应参数4，ō便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式. σ√2元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 例1.(2023全国高二专题练习)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数∫(x)的图像，且 付=。学：R,则这个正态总华的平均数与标准荟分别是(》. √8π A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 【答案】B 【解析】因为f(x)= 1x-toj (r-10 e8= e2x2,所以o=2,4=10, √8 √2π×2 即正态总体的平均数与标准差分别为10与2 故选：B 网2.(2023全国高三专题练习)下列是关于正态曲我因：(x∈R性质的说法 ①曲线关于直线x=对称，且恒位于x轴上方： ②曲线关于直线x=o对称，且仅当x∈【-3o,30时才位于x轴上方： ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于y轴对称： ④曲线在x=“处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低： ⑤曲线的位置由μ确定，曲线的形状由σ确定 其中说法正确的是() A.①④⑤ B.②④⑤ C.③④⑤ D.①⑤ 【答案】A 【解析】正态曲线∫(x关于直线x=“对称，该曲线总是位于x轴上方，故①正确：②不正确： 只有当4=0时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于)轴对称：此时为标准正态分布，当“≠0时，不 是偶函数，故③不正确： 正态曲线(x)是一条关于直线x=“对称，在x=μ处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低 的曲线，故④正确： 曲线的位置由对称轴x=4确定，曲线的形状由σ确定，O越大，图象越矮胖，ō越小，图象越瘦高，故⑤ 正确： 故①④⑤说法正确 故选：A 例3.(2023全国高二专愿练习)下列函数是正态分布密度函数的是() A.)=1 一e如，4，风o>0)都是实数 √2π B.树2压e 2元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 C.x)= 2②e D.fx)=- 1 e2 2 【答案】B 【解析】对照正态分布密度函数：)e∈R, √2πG 指数中的σ和系数的分母中的σ要一致，以及指数部分是一个负数 故选：B 变式1.(2023春·全国·高三竞赛)已知两个连续型随机变量X,了满足条件2X+Y=2,且Y服从标准正态 分布，设函数F(x=P(X-2x>1),则F(x的图像大致为() 【答案】D 【解折】F=PX-2>)=P(X>2x+1或X<2x-),因为X=1-y 所以F=P0-子>2x+1或1-<2x-).即F=PW<-4或Y>4-4. F1-x=P[Y<-41-x或Y>4-41-x门=P(Y<4+4x或Y>4x) 因为Y服从标准正态分布，所以根据对称性可知F()=F1-,所以函数F国关于x=)对称，故排除AC 当x=2时， =Px-小.X1所以F=PK-=P卧小=P>2成≤-2习 因为Y~N(0,1),